Question

Sabendo-se que os restos das divisões de x²+px+1 por x-1 e x-2 são iguais entre si, o valor de p é:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{p=-3}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o valor de $p$, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja um polinômio $P(x)$, divisível simultaneamente por $x-\alpha$ e $x-\beta$.

De acordo com o Teorema do Resto, $P(\alpha)=R(\alpha)$ e $P(\beta)=R(\beta)$, ou seja: o valor numérico do polinômio em $\alpha$ e em $\beta$ é igual ao resto da divisão deste polinômio por $x-\alpha$ e $x-\beta$, respectivamente.

Então, sabendo-se que os restos das divisões de $x^2+px+1$ por $x-1$ e $x-2$ são iguais entre si, temos que:

$R(1)=R(2)\\\\\\ 1^2+p\cdot1+1=2^2+p\cdot2+1$

Calcule as potências e multiplique os valores

$1+p+1=4+2p+1$

Some os valores

$p+2=2p+5$

Isole $p$

$p=-3$

Este é o valor que buscávamos.