Question

sabendo-se que o polinômio x3-mx2+nx+1 é divisível por x2-1, então o valor de m+n é igual a:

Answer 1

Dividindo um polinômio p(x) por um polinômio d(x), existem q(x) e r(x) únicos tais que

$p(x)=q(x)\cdot d(x)+r(x)$
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Se o polinômio é divisível por (x² - 1), sabemos que o resto R(x) da divisão é zero. Logo:

$p(x)=q(x)\cdot(x^{2}-1)+0\\\\x^{3}-mx^{2}+nx+1=q(x)\cdot(x^{2}-1)$

x² - 1 = (x + 1)(x - 1). Então, x = 1 e x = - 1 são raízes de p(x) (note que se substituirmos x por 1 ou -1 na expressão acima, encontramos p(x) = 0)

Trocando x por 1 na expressão:

$1^{3}-m(1)^{2}+n(1)+1=q(x)\cdot(1-1)\\\\1-m+n+1=0\\\\-m+n=-2$

Trocando x por -1 na expressão:

$(-1)^{3}-m(-1)^{2}+n(-1)+1=q(x)\cdot([-1]^{2}-1)\\\\-1-m-n+1=0\\\\-m-n=0$

Então, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases}-m+n=-2\\-m-n=0\end{cases}$

Somando as equações:

$-m-m+n-n=-2+0\\\\-2m=-2\\\\\boxed{\boxed{m=1}}$

Achando n:

$-m-n=0\\\\m+n=0\\\\1+n=0\\\\\boxed{\boxed{n=-1}}$