Question

Sabendo-se que ( n ) ; ( n+10 ) ; ( n+40 )formam nessa ordem uma progressão geométrica de termos não nulos , podemos afirmar que a soma dos termos é igual a :
a) 54
b) 80
c)75,5
d)65
e)57,5

Answer 1

Olá Eduardo!

Resposta:

$\displaystyle \boxed{\mathtt{D}}$

Explicação passo-a-passo:

Sejam $\displaystyle \mathtt{a_1}$, $\displaystyle \mathtt{a_2}$ e $\displaystyle \mathtt{a_3}$ os termos de um Progressão Geométrica. Para determinar sua razão $\displaystyle \mathtt{q}$ fazemos $\displaystyle \mathtt{q = \frac{a_2}{a_1}}$, ou, poderíamos fazer, também, $\displaystyle \mathtt{q = \frac{a_3}{a_2}}$.

Isto posto, concluí-se que:

$\\ \displaystyle \mathsf{q = q} \\\\ \boxed{\mathsf{\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}}}$

Voltemos à questão... Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{n + 10}{n} = \frac{n + 40}{n + 10}} \\\\ \mathsf{(n + 10)^2 = n(n + 40)} \\\\ \mathsf{n^2 + 20n + 100 = n^2 + 40n} \\\\ \mathsf{20n - 40n = - 100} \\\\ \mathsf{- 20n = - 100} \\\\ \boxed{\mathsf{n = 5}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{S = a_1 + a_2 + a_3} \\\\ \mathsf{S = n + (n + 10) + (n + 40)} \\\\ \mathsf{S = 3n + 50} \\\\ \mathsf{S = 3 \cdot 5 + 50} \\\\ \mathsf{S = 15 + 50} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S = 65}}}$