Question

Sabendo se que log2=x e log3=y determine:
a) log3√27
b) log√108
c) log∛2
d) log 100/4

Answer 1

a) log∛27

∛27 = 3

Reescrevendo:

log 3

Substituindo:

log 3 = y


log∛27 = y



b) log√108

Fatorando o 108:

108 | 2
 54  | 2
 27  | 3
   9  | 3
   3  | 3
   1  |


108 = 2².3³


Logo:

$log \ \sqrt{108}$

$log \ \sqrt{2^2.3^3}$


Convertendo o índice do radical em expoente:

$log \ (2^2.3^3)^{\frac{1}{2}}$


Aplicando a propriedade operatória da potência:

$\frac{1}{2} \ . \ log \ 2^2.3^3$


Aplicando a propriedade operatória do produto:

$\frac{1}{2} \ . \ (log \ 2^2 \ + \ log \ 3^3)$


Aplicando a propriedade operatória da potência:

$\frac{1}{2} \ . \ (2. \ log \ 2 \ + \ 3 . \ log \ 3)$

$\frac{2}{2} \ . \ log \ 2 \ + \ \frac{3}{2} \ . \ log \ 3$

$log \ 2 \ + \ \frac{3}{2} \ . \ log \ 3$



Substituindo log 2 e log 3:

$x \ + \ \frac{3}{2} \ . \ y$ = $x + \frac{3y}{2}$


$log \sqrt{108} = \boxed{\bold{x + \frac{3y}{2}}}$



c) log∛2


Convertendo o índice do radical em expoente:

$log \ (2)^{\frac{1}{3}}$


Aplicando a propriedade operatória da potência:

$\frac{1}{3} \ . \ log \ 2$


Substituindo log 2:

$\frac{1}{3} \ . \ x \ =\ \frac{x}{3}$


log∛2 = $\bold{ \frac{x}{3} }$



d) log 100/4

Vamos pelo caminho mais longo:

Aplicando a propriedade operatória da quociente:

log 100 - log 4

log 2².5² - log 2²


Aplicando a propriedade operatória do produto:

log 2² + log 5² - log 2²


Aplicando a propriedade operatória da potência:

2. log 2 + 2 . log 5 - 2 . log 2


Substituindo log 2:

2 . x + 2.log 5 - 2 . x
2x + 2.log 5 - 2x = 2.log 5


log 100/4 = 2.log 5



Agora, pelo caminho mais curto:

log 100/4 = log 25 = log 5² = 2.log 5