Question

Sabendo-se que i e -i são raízes da equação x^4-x^3-x-1=0, as outras raízes são?

Quem souber por favor me ajuda!

Answer 1

Essa equação pode ser escrita na forma:
a(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4), onde a é o coeficiente angular e x1,x2,x3 e                               x4 são as raízes, vamos substituir as raízes que já temos:

1(x - i)(x + i)(x - x3)(x - x4) =     faça a distributivas onde vc substituiu as                                                         raízes       
(x² - i²)(x - x3)(x - x4) =       i² é igual a -1
(x² - (-1))(x - x3)(x - x4) = 
(x² + 1)(x - x3)(x - x4) 

se i e -i são raízes dessa equação, então a mesma divide tanto por x- i quanto por x + i sem deixar resto, assim ela também divide pelo produto das duas raízes, ou seja, o polinômio x⁴ - x³ - x - 1 divide por x² + 1 sem deixar restos, vamos dividir esses polinômios:

 x⁴ - x³ - x - 1           x² + 1
-x⁴ - x²                     x² - x - 1
_______
- x³ - x² - x - 1
+x³ + x
__________
 - x² - 1 
 +x² +1
_________
  0

Para acharmos as outras raízes, basta fazermos bhaskara em x² - x - 1 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.-1
Δ = 1 + 4
Δ = 5

x = -b +/- √Δ /2
x = -(-1) +/- √5 / 2
x = 1 +/- √5 /2

x3 = 1 + √5 /2 ou 0,5 + 0,5√5
x4 = 1 - √5 /2  ou 0,5 -  0,5√5
____________________________________________________________
Agora que achamos as raízes vamos fazer a prova real:

a(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) =        substituindo as raízes:
1(x - i)(x + i)(x - (0,5 + 0,5√5))(x - (0,5 - 0,5√5)) = 
(x² + 1)(x - 0,5 - 0,5√5)(x - 0,5 + 0,5√5) = 
(x² + 1)(x² - 0,5x + 0,5x√5 - 0,5x + 0,25 - 0,25√5 - 0,5x√5 + 0,25√5 - 0,25.5)=
(x² +1)(x² - x + 0,25 - 1,25) = 
(x² + 1)(x² - x - 1) = 
x⁴ - x³ - x² + x² - x + 1 = 
x⁴ - x³ - x - 1

Bons estudos