Question

Sabendo -se que a sucessão (X-1, X+2 ,3X) e uma P.G crescente, determine X

Answer 1

Vamos usar a seguinte definição:


$\frac{ a_{2} }{ a_{1} } = \frac{ a_{3} }{ a_{2} } = \frac{ a_{n} }{ a_{n-1} }$

Temos que:

a1 = x-1

a2 = x+2

a3 = 3x

Substituindo ficamos :D

$\frac{x+2}{x-1} = \frac{3x}{x+2}$

Efetuando a regra de 3:




$\\ (x+2)(x+2) = (x-1)(3x) \\ \\ x^2+2x+2x+2*2=x*3x-1*3x \\ \\ x^2+4x+4 = 3x^2-3x \\ \\ x^2-3x^2 +4x+3x+4=0 \\ \\ -2x^2+7x+4=0$


Resolvendo por bascara:

a = -2

b = 7

c = 4

Δ = b²-4*a*c

Δ =  7² -4*(-2)*(4)

Δ = 49 +4*8

Δ = 49 + 32

Δ  = 81

$\\ x = \frac{-b+/- \sqrt{DELTA} }{2*a} \\ \\ x = \frac{-7+/- \sqrt{81} }{2*-2} \\ \\ x = \frac{-7 +/- 9}{-4}$

Teremos dois valores para "x"

x' = $\frac{-7-9}{-4} = 4$

x" = $\frac{-7+9}{-4} = -\frac{1}{2}$

Testando os dois valores de "x" na sequencia para analizar qual valor de "x" torna a PG crescente.


Para x = -1/2

S = (x-1, x+2, 3x)

S = ( -1/2 -1, -1/2+2 , 3*-1/2)

S = ( -1,5 , 1,5 , -1,5)

Para x = -1/2 a Pg não é crescente, a Pg apenas Oscila: Tem razão igual a -1


X = -1/2 não é valido

Tesntando X = 4

S = (x-1, X+2, 3x)

S = ( 4-1, 4+2, 3*4)

S = ( 3, 6, 12)

X = 4 é valido, pois a seuqencia é crescente e tem razão igual a 2