Question

Sabendo-se que a parábola de equação y=x^2+bx+c é tangenciada pela reta de equação y=x no ponto (1,1), determine b e c.

Answer 1

Temos o seguinte:
$f(x) = x^2 +bx +c \\ \\ g(x) =x$
Primeiro deve-se entender um detalhe, a reta tangencia a parábola no ponto $x=1$, logo, neste ponto a reta e a parábola possuem a mesma derivada:
$f'(1) = g'(1)$
Portanto temos na reta, uma derivada constante, independente do valor de x:
$g'(x) = 1$
Logo:
$f'(1) = 1$
Logo derivando $f(x)$, e igualando o valor da derivada:
$f(x) = x^2 +bx + c \\ \\ f'(x) = 2x + b \\ \\ f'(1) = 2 \cdot 1 + b \\ \\ 1 = 2 + b \\ \\ b = -1$
Temos, substituindo os valores do ponto na função $f(x)$:

$f(x) = x^2 + bx + c \\ \\ f(1) = 1^2 + b \cdot 1 + c \\ \\ 1 = 1 + b + c \\ \\ b + c =0$
Logo, com $b= -1$:
$b + c = 0 \\ \\ -1 +c = 0 \\ \\ c = 1$