Question

Sabendo-se que a equação x²+(a-9)x+b+2=0 possui soluções r e s e a equação x²+(a-10)x+b+5=0 possui soluções r e t, onde a e b são inteiros positivos e r,s e t, nessa ordem, são inteiros consecutivos, então a+b é igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13

Answer 1

Dada uma equação do segundo grau, $ax^2+bx+c=0$, se $x'$ e $x"$ são suas raízes, temos:

$S=x'+x"=\dfrac{-b}{a}$

$P=x'\cdot x"=\dfrac{c}{a}$

Na equação $x^2+(a-9)x+(b+2)=0$, as soluções são $r$ e $s$.

Assim:

$r+s=\dfrac{-(a-9)}{1}=-a+9$

$r\cdot s=\dfrac{(b+2)}{1}=b+2$

Do mesmo moodo, na equação $x^2+(a-10)x+(b+5)=0$, as soluções são $r$ e $t$.

Com isso:

$r+t=\dfrac{-(a-10)}{1}=-a+10$

$r\cdot t=\dfrac{(b+5)}{1}=b+5$

Mas, como $r,s$ e $t$, nessa ordem, são inteiros consecutivos, temos:
 
$s=r+1$ e $t=s+1=r+1+1=r+2$.

Deste modo, podemos reescrever a equação $r\cdot s=b+2$ como $r(r+1)=b+2$;
 
E a equação $r\cdot t=b+5$ como $r(r+2)=b+5$.

Note que, $r(r+1)=r^2+r$ e $r(r+2)=r^2+2r$.

Assim, $r(r+2)-r(r+1)=r^2+2r-r^2-r=r$.

Como $r(r+2)-r(r+1)=b+5-b-2=3$, segue que, $r=3$.

Com isso, $s=4$ e $t=5$. Logo, 

$r(r+1)=b+2~~\Rightarrow~~3\cdot4=b+2~~\Rightarrow~~b+2=12$

$\boxed{b=10}$

$r+s=-a+9~~\Rightarrow~~3+4=-a+9~~\Rightarrow~~a=9-3-4$

$\boxed{a=2}$

Portanto, $a+b=10+2=12$.

Alternativa D

Espero ter ajudado, até mais ^^