Question

Sabendo-se que a é a medida de um ângulo agudo e que sen a = 15/17, calcule sen 2x, cosseno 2x e tg 2x.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Dado  $sen \;x=\frac{15}{17}$. Como x é um ângulo agudo, temos que x pertence ao primeiro quadrante, donde $cos\;x>0$ e $tg\;x>0$.

A relação fundamental da trigonometria diz que:

$sen^2x+cos^2x=1$

Temos:

$\left(\frac{15}{17} \right)^2+cos^2x=1\\\\\frac{225}{289} +cos^2x=1\\\\cos^2x=1-\frac{225}{289} \\\\cos^2x=\frac{289-225}{289} \\\\cos^2x=\frac{64}{289} \\\\cos\;x=\frac{8}{17}$

Fórmulas:

$sen(a+b)=sen\;a\cdot cos\;b+sen\;b\cdot cos\;a\\\\cos(a+b)=cos\;a\cdot cos\;b-sen\;a\cdot sen\;b$

Então:

$sen\;2x=sen\;(x+x)=sen\;x\cdot cos\;x+sen\;x\cdot cos\;x=2\cdot sen\;x\cdot cos\;x\\\\sen\;2x=2\cdot \frac{15}{17} \cdot \frac{8}{17} =\frac{240}{289}$

$cos\;2x=cos\;(x+x)=cos\;x\cdot cos\;x-sen\;x\cdpt sen\;x=cos^2x-sen^2x\\\\cos\;2x=\left(\frac{8}{17} \right)^2-\left(\frac{15}{17}\right)^2=\frac{64}{289} -\frac{225}{289} =-\frac{161}{289}$

$tg\;2x=\frac{sen\;2x}{cos\;2x} =\frac{\frac{240}{289} }{-\frac{161}{289} }=\frac{240}{289} \cdot \left(-\frac{289}{161} \right)=-\frac{240}{161}$