Question

Sabendo-se que a=dv/dt e v=dx/dt com Vo igual ou diferente de 0, to=0 e Xo igual ou diferente de 0 COM INTEGRAIS DEFINIDA ACHE V=Vo+aT e X=Xo+Vo.T+aT²/2

Answer 1

Boa tarde.

Consideremos a aceleração constante. Sabemos que, por termos

a = dV/dt, teremos que a = V'(t).


Do Teorema​Fundamental do Cálculo, vem que:

∫F'(t) dt = F(t)


Aplicando integrais na equação relacionando a aceleração com a derivada da velocidade:

a = V'(t)
∫a dt = ∫V'(t) dt


∫V'(t) = V(t)
∫a dt = at , pois a é constante e a integral de uma constante é o seu produto pela variável.

Logo:

V(t) = at + C¹

Se fizermos t = 0, segue que:

V(0) = Vo = C¹


Então:


V(t) = Vo + at



Do mesmo modo, temos que V(t) = S'(t), se integrarmos a velocidade, teremos a posição. Lembremos também que:

∫cx^(n) dx = c x^(n + 1) / (n + 1)

Então:

S(t) = ∫V(t) dt = ∫(Vo + at) dt

S(t) = ∫Vo dt + ∫at dt

Pela fórmula da integral da constante e da função potência, segue que:

S(t) = Vo . t + at²/2 + C²

Fazendo t = 0, vem que S(0) = So = C². Assim:


S(t) = So + Vo.t + at²/2


Se tiver dúvidas, comente :)

Answer 2

$\displaystyle\mathsf{\Delta~v=\int~a\,dt=a.t}\\\mathsf{v-v_{0}=a.t}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{v=v_{0}+at}}}$

$\displaystyle\mathsf{\Delta~x=\int~v.dt}$

$\displaystyle\mathsf{\Delta~x=\int~(v_{0}+at)dt=v_{0}t+\dfrac{1}{2}a{t}^{2}}$

$\mathsf{x-x_{0}=v_{0}t+\dfrac{1}{2}a.{t}^{2}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x=x_{0}+v_{0}t+\dfrac{1}{2}a.{t}^{2}}}}$