Question

Sabendo-se que (1 + i) é raiz do polinômio P(x) = x5 - 3x4 + 3x3 + x2 - 4x + 2, pode-se afirmar que (A) 1 é raiz de multiplicidade 1 de P(x). (B) 1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x). (C) -1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x). (D) (1 + i) é raiz de multiplicidade 2 de P(x). (E) (1 - i) não é raiz de P(x).

Answer 1

Uma vez que 1+i é uma raiz do polinômio P(x), podemos concluir que 1-i também uma das raízes desse polinômio.

Agora, substituindo a raiz x=1 como teste, temos:

P(1) = 1^5 - 3*1^4 + 3*1^3 + 1^2 - 4*1 + 2

P (1) = 1 - 3 + 3 + 1 -4 + 2

P (1) = 0

Logo, x = 1 também é uma raiz do polinômio.

Além disso, temos uma raiz x' e outra x" que também são raízes do polinômio. Então, podemos escrever:

(1 + i) + (1 - i) + 1 + x' + x" = 3   ->   x' + x" = 0

(1 + i) * (1 - i) * 1 * x' * x" = -2   -> x' * x" = -1

Com isso, resolvemos o sistema e encontramos as seguintes raízes:

x' = 1

x" = -1

Logo, as cinco raízes do polinômio são:

(1 + i), (1 - i), 1, 1, -1

Portanto, x=1 é raiz de multiplicidade 2.


Alternativa correta: B.