Question

Sabendo que Z1=2(cos 30º + i.sen30°) e Z2=3(cos 150°+ i .sen 150 °), determine: Z2 elevado a 99.

Answer 1

o Vamos lá.

Como você informou que falta apenas resolver a questão abaixo, então vamos a ela. Sendo z₂ = 3*[cos(150º) + isen(150º)] , determine (z₂)⁹⁹.
Bem, então vamos desenvolver. Assim, aplicando Moivre, teremos:

(z₂)⁹⁹ = 3⁹⁹*[cos(99*150º) + isen(99*150º)]
(z₂)⁹⁹ = 3⁹⁹*[cos(14.850º) + isen(14.850º)]

Agora note isto: o arco de "14.850º" é côngruo ao arco de 90º e este arco de 90º é a primeira determinação positiva do arco de "14.850º", pois se você dividir 14.850 por 360 vai encontrar isto:

14.850/360 = dá quociente igual a 41 e resto 90.

Isto significa que foram dadas 41 voltas completas no círculo trigonométrico e, ao iniciar a 42ª volta, parou-se logo no arco de 90º.
Em outras palavras, temos que: 14.850º = 41*360º + 90º.

Então ficaremos assim:

(z₂)⁹⁹ = 3⁹⁹*[cos(90º) + isen(90º)]

Agora veja: como cos(90º) = 0 e como sen(90º) = 1 , então fazendo as devidas substituições, teremos:

(z₂)⁹⁹ = 3⁹⁹*[0 + i*1] ---- ou, o que é a mesma coisa:
(z₂)⁹⁹ = 3⁹⁹*[0 + 1i] ----- efetuando o produto indicado, teremos;
(z₂)⁹⁹ = 3⁹⁹*0 + 3⁹⁹*1i ---- note que 3⁹⁹*0 = 0; e 3⁹⁹*1i = 3⁹⁹i. Assim:

(z₂)⁹⁹ = 3⁹⁹i  <--- Esta é a resposta. Se você quiser colocar a parte real,então basta substituí-la por zero, ficando assim:

(z₂)⁹⁹ = 0 + 3⁹⁹i <--- A resposta também poderia ser dada desta forma.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.