Question

Sabendo que Z e W são números complexos na forma algébrica tal que: Z = -5 + 9i e W = 3 - 7i. Sendo θ o argumento principal do número complexo Z + W‚ o valor de θ é: *

a) 90°

b) 135°

c)145°

d) 120°

c) 180°

Answer 1

O argumento da soma é:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = \arg\left(Z+W\right) = 135^\circ\end{gathered}$

Alternativa B.

Por curiosidade, o número complexo da soma na forma polar é:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}Z + W = 2\sqrt{2}\left(\cos \theta + i\sin \theta\right)\end{gathered}$

Primeiro vamos somar os dois números complexos, quando eles estão na forma retangular, podemos realizar a soma da seguinte maneira:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}u, v \in \mathbb{C}\\u = a+bi \quad v = x+yi\\\Downarrow\\u + v = \left(a+x\right) + \left(b+y\right)i\end{gathered}$

Ou seja, somamos a parte real de um com a parte real do outro, e a parte complexa com a parte complexa do outro, e para achar o argumento do número complexo utilizamos a função arcotangente:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}z = a + bi,\quad z \in \mathbb{C}\\\\\theta = \arg \left(z\right) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \end{gathered}$

Lembrando que a função arcotangente, é uma função que recebe o valor de uma tangente e te retorna o valor do ângulo, portanto, ao fazer a função arcotangente, acharemos o ângulo diretamente.

Então fazendo a soma de Z e W temos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}Z = -5+9i \quad W = 3-7i\\\Downarrow\\Z + W = \left(-5+3\right)+\left(9-7\right)i\\ \\Z + W = -2+2i\\ \\\end{gathered}$

Logo aqui já podemos eliminar todas as respostas, veja que a parte real e a parte imaginária tem o mesmo módulo, sempre que isso ocorrer o argumento forma um ângulo de 45º em algum dos quadrantes, para saber qual basta analisar o sinal de cada parte, ou seja, os únicos ângulo possíveis são 45º, 135º, 225º e 315º, como 135º é o único que aparece nas alternativas, é a resposta correta, mas vamos fazer do método analisando os sinais e também com a função tangente.

1º Método - Analisando os sinais

Primeiro quadrante

• Re(z) > 0
• Im(z) > 0

Segundo quadrante

• Re(z) < 0
• Im(z) > 0

Terceiro quadrante

• Re(z) < 0
• Im(z) < 0

Quarto quadrante

• Re(z) > 0
• Im(z) < 0

Como nosso caso é Re(z) < 0 e Im(z) > 0, nosso argumento tá no segundo quadrante, logo o múltiplo de 90ºk + 45º no segundo quadrante, que é 135º

2º Método - Função tan(x)/arctan(x)

Utilizando a função arctan temos que o argumento será:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = \arg\left(Z+W\right) = \arctan\left(-\frac{2}{2}\right)\\\Downarrow\\\theta = \arg\left(Z+W\right) = \arctan\left(-1\right)\\\end{gathered}$

Os únicos ângulo que possem tangente = -1 são 135º e 315º, como a parte imaginária é positiva, estamos no segundo quadrante, logo o único ângulo válido é 135º.

Lembrando que a função sempre irá te retornar o menor ângulo formado com o eixo x.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Em anexo a representação do número complexo

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/31336304

brainly.com.br/tarefa/5751598