Question

Sabendo que z é o número complexo
Z= 1/2 + √3/2i, qual o menor inteiro positivo n , para o qual o produto Z.Z2.Z3 ... Zn e um real positivo?

Answer 1

Analisando o número complexo em coordenadas esfericas, temos que o menor número de vezes necessario para que este número fique real positivo é 6.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o número complexo:

$z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Qualquer número complexo também pode ser definido pela forma polar, que muitas vezes ajuda a analisar, o que é este caso. A forma polar é dada por:

$z=R.e^{i\theta}$

Então vamos primeiramente encontrar o raio do nosso número complexo:

$R=x^2+y^2$

$R=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$R=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$

$R=1$

Então agora vamos encontrar o angulo polar:

$tg(\theta)=\frac{y}{x}$

$tg(\theta)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$tg(\theta)=\sqrt{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3}$

Então temos que nosso número complexo em coordenadas polares é:

$z=e^{i\frac{\pi}{3}}$

Assim toda vez que multiplicamos ele por ele mesmo:

$z.z=e^{i\frac{\pi}{3}}.e^{i\frac{\pi}{3}}$

$z.z=e^{i\frac{\pi}{3}+i\frac{\pi}{3}}$

$z.z=e^{i\frac{2\pi}{3}$

Ele adiciona mais π/3 no denominador, e como exponencial complexa de π é -1, então multiplicando z por ele mesmo três vezes, teremos:

$z.z.z=e^{i\frac{2\pi}{3}+i\frac{\pi}{3}}$

$z.z.z=e^{i\frac{3\pi}{3}$

$z.z.z=e^{i\pi}$

$z.z.z=-1$

Assim se repetirmos este processo mais três vezes nos dara outro -1, e -1.-1 é 1, então o menor número de vezes necessario para que este número fique real positivo é 6.