Question

Sabendo que z= 2 + ί e w= - 3 + 9 ί, determine a e b sendo que z + w = a + b ί.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a=-1~e~b=10}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos acerca de números complexos.

A soma entre dois números complexos de forma algébrica $z_1=a+b\cdot i$ e $z_2=c+d\cdot i$ é dada pela soma entre suas partes reais e imaginárias da seguinte forma:

$z_3=z_1+z_2=a + b\cdot i + c + d\cdot i\\\\\\ z_3 = z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\cdot i$

Isto significa que devemos comparar os coeficientes das partes reais e imaginárias do número complexo resultante desta soma para encontrarmos a resposta.

Então, considere a soma entre os números complexos $z=2+i$ e $w=-3+9i$

Aplique a propriedade discutida acima

$z+w=2+i-3+9i\\\\\\ z + w = -1+10i$

Então, iguale esta soma a $a + b\cdot i$, como expresso no enunciado

$-1+10i=a+b\cdot i$

Ao compararmos os coeficientes, facilmente conseguimos determinar que

$a=-1$ e $b=10~~\checkmark$

Estes são os valores que buscávamos.

Answer 2

Resposta:

a = -1 e b = 10

Explicação passo-a-passo:

Olá,

Substituindo as incógnitas pelas suas expressões correspondentes nós ficamos com :

z + w = a + b

2 + i - 3 + 9i = a + bi

P/ efetuarmos uma soma de números nós devemos fazer o seguinte :

Devemos somar a parte real de um com a parte real do outro e fazer o mesmo com as suas partes imaginárias. Lembrando que a parte imaginária de um complexo é identificada como aquela que multiplica a unidade imaginária (que é o i).

Portanto :

z + w → -1 + 10i

Observe que -1 + 10i representa um outro número complexo já que um complexo qualquer é definido por :

z' = a + bi (Note que a expressão que define um número complexo é igual a expressão do 2º membro da soma dos números z e w que no caso é representada por a + bi).

Portanto quando nós fazemos :

-1 + 10i = a + bi

Nós estamos na verdade fazendo uma igualdade entre complexos. P/ que dois números complexos sejam iguais é necessário que tanto as suas partes reais quanto as suas partes imaginárias sejam iguais. Logo nós concluímos que :

a = -1 (Como a estava sozinho ele estava representando a parte real do nosso número complexo)

b = 10 (Como b estava multiplicando i ele era a nossa parte imaginária do número complexo)