Question

Sabendo que Z = 2 – 2i, calcule Z7.

Por favor, me façam entender.​

Answer 1

Resposta:

$z=2^{10}(1+i)$

Explicação passo-a-passo:

1. Colocando na sua forma trigonométrica $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$.

I. primeiramente encontrando seu módulo:

$\rho=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$

II. Fatorando z pelo módulo:

$z=2\sqrt{2}({\sqrt{2}\over 2}-i{\sqrt{2}\over2})$

2. Encontrando o valor do argumento $\theta$ para os valores :

$\left \{ {{\cos\theta={\sqrt2\over2} \atop {\sin\theta=-{\sqrt2\over2}} \right.$

Observando as expressões, vemos que o argumento está no quarto quadrante(negativo para o seno e positivo para o cosseno). Para um ângulo de cosseno estar no quarto quadrante, deve-se diminuir 2π pelo valor do ângulo que é semelhante ao resultado:

$\cos\theta=\cos(2\pi-x)=\cos({\pi\over4})$

$\cos\theta=\cos({2\pi-{\pi\over4})$

$\theta=2\pi-{\pi\over4}$

Vamos transformar em graus para facilitar o cálculo:

$\theta=360^\circ-45^\circ=315^\circ$

I. Então, substituindo em z:

$z=2\sqrt{2}(\cos315^\circ+i\sin315^\circ)$

Agora elevando a sétima potência pela Primeira Lei de Moivre ($z^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$:

$z^7=(2\sqrt{2})^7(\cos(7\times315^\circ)+i\sin(7\times315^\circ))$

$z^7=(2\sqrt{2})^7(\cos(2205^\circ)+i\sin(2205^\circ))$

II. Dividindo 2205° por 360° para separar o número de vezes que o ângulo completou uma volta de 360°. Nisso, obtemos que esse ângulo completou 6 voltas e parou no 45°:

$z^7=(2\sqrt{2})^7(\cos(45^\circ)+i\sin(45^\circ))$

Sendo seno e cosseno de 45° igual a raiz de 2 sobre 2, temos:

$z^7=(2\sqrt{2})^7({\sqrt2\over2}+{\sqrt2\over2}i)$

III. Aplicando a distributiva:

$z^7=(2\sqrt{2})^7\times{\sqrt{2}\over2}+(2{\sqrt{2})^7\times{\sqrt2\over2}i$

IV. Distribuindo a potência de 7 dentro dos números entre parênteses:

$z^7=2^7\sqrt{2}^7\times{\sqrt{2}\over2}+2^7\sqrt{2}^7\times{\sqrt2\over2}i$

V. Multiplicando √2⁷×√2, obtemos 2√2⁶:

$z^7=2^7\sqrt{2}^6\times{2\over2}+2^7\sqrt{2}^6\times{2\over2}i$

$z^7=2^7\sqrt{2}^6+2^7\sqrt{2}^6i$

VI. Sendo $\sqrt{x}=x^{1\over2}$, temos que $\sqrt{2}^6=2^{{1\over2}\times6}=2^3$:

$z^7=2^7\times2^3+2^7\times2^3i$

VII. Somando os expoentes das bases iguais:

$z^7=2^{10}+2^{10}i$

Fatorando o dois elevado a 10:

$z^7=2^{10}(1+i)$