Question

Sabendo que y=f(x) é definida pela equação x.y²+2.y³=x−2.y , é correto afirmar que:

Escolha uma ou mais:
a.
A equação da reta tangente a curva em x=0 é $y= \frac{1}{2}x$
b.
A equação da reta tangente a curva em x=0 é $y= \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2}$

c. A equação não é válida em x=0.


d. O coeficiente da reta angular a curva em x=0 é $f'(0)= \frac{1}{2}$

Answer 1

Utilziando definições de funções e derivadas implicitas, encontramos que y = ±i em x=0, deixamos claro que esta função não é valida em x = 0, pois "i" é um número complexo, portanto não real, assim esta função não é valida em x = 0. Letra C.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte equação:

$x.y^2+2.y^3=x-2.y$

Primeiramente vamos substituir x por 0, para sbaermos o valor desta função y quando x = 0:

$x.y^2+2.y^3=x-2.y$

$0.y^2+2.y^3=0-2.y$

$2.y^3=-2.y$

$y^2=-1$

$y=\pm\sqrt{-1}$

$y=\pm i}$

E vemos que esta equação mistura x e y de forma inseparavel, assim sabendo que precisamos da derivada desta função f'(0) para encontrarmos a reta tangente em x = 0, então precisamos derivar esta equação usando derivadas implicitas sobre x, ou seja, x derivando normalmente e y derivando implicitamente, como a seguir:

$x.y^2+2.y^3=x-2.y$

$y^2+2.x.y.y'+3.2.y^2.y'=1-2.y'$

Onde para chegarmos a este resultado, utilizei regra do produto e derivadas implicitas considerando y = f(x) e y' = f'(x).

Agora nesta equação derivada vamos substituir x = 0 e y = ±i e encontrarmos o valor de y':

$y^2+2.x.y.y'+3.2.y^2.y'=1-2.y'$

$(\pm i)^2+2.0.(\pm i).y'+3.2.(\pm i)^2.y'=1-2.y'$

$-1-6.y'=1-2.y'$

$-1-1=-2.y'+6.y'$

$-2=4.y'$

$y'=-\frac{1}{2}$

Assim temos que o valor da derivada no ponto x=0 é de f'(0) = -1/2, que não é compativel com nenhuma das alternativas.

Porém a resposta que queremos já encontramos muito antes, pois quando encontramos que y = ±i em x=0, deixamos claro que esta função não é valida em x = 0, pois "i" é um número complexo, portanto não real, assim esta função não é valida em x = 0. Letra C.