Question

Sabendo que x² + y² = 153 e que xy = 36, calcule o valor de (x+y)².

Answer 1

Resposta:

(x+y)^2 = 15^2 = 225

Explicação passo-a-passo

   Aqui claramente podemos identificar um sistema certo?

   Então o método que irei utilizar é o da substituição, mas também há outros como o da adição.

   

   X^2 + Y^2 = 153

   XY = 36

  Isolando o X da segunda equação:

 

  X = 36/Y

 

  Substituindo:

  (36/Y)^2 + Y^2 = 153

 

  Resolvendo a equação:

  36^2 / Y^2 + Y^2 = 153

  1296 / Y^2 + Y^2 = 153

 

  Agora nós podemos tirar o Y^2 do denominador fazendo um mmc inicialmente entre todos os termos. Como assim?, você deve estar se perguntando. É o seguinte, todos os outros termos a não ser o 1296/Y^2 possuem 1 no denominador, logo o mmc vai ser o próprio Y^2, então fazendo o mmc e depois aquele processinho clássico: divide pelo debaixo e multiplica pelo... Irá ficar dessa forma:

   1296 + Y^4 = 153Y^2

   Organizando:

   Y^4 - 153Y^2 + 1296 = 0

   Bem, aqui nós temos uma função biquadrática, ou seja, escrita na forma: f(x) = x^4a + x^2b + c. Para resolver esse tipo de equação precisamos transformá-la em uma equação do segundo grau: at^2 + tb + c. Dessa forma, o x^2b da função biquadrática tem que equivaler ao tb, então t = x^2. Fazemos isso com a finalidade de desenvolver a equação  biquadrática em forma de segundo grau e depois que acharmos o resultado da função de segundo grau iremos comparar a icógnita equivalente, por exemplo o t que equivale ao x^2 da função biquadrática. A partir de então temos que:

  t^2 - 153t + 1296 = 0

 

  Resolvendo

  a = 1, b = - 153 e c = 1296

  /\ = b^2 - 4.a.c

  /\ = (-153)^2 - 4.1.1296

  /\ = 23409 - 5184

  /\ = 18225

  Bhaskhara,

  ( -(-153) +- $\sqrt{18225}$ ) / 2.1

  (153 +- 135) / 2

  t' = 153 - 135/ 2

  t' = 18 / 2

  t' = 9

  A princípio só vou utilizar o t', então como o t = x^2, temos que 9 ou 3^2 = x^2, logo o x da função biquadrática é igual a 3.

  Depois de encontrar o x vamos encontrar o y, só relembrando que:

 

   X^2 + Y^2 = 153

   XY = 36

  Continuando:

 

  3.Y  = 36

  Y = 36/3

  Y = 12

  Caso você esteja meio apreensivo(a) pode substituir o x ou y nas fórmulas iniciais e verá que  os valores estão corretos

   

  X = 3

  Y = 12

  Achando o valor final:

 (X + Y)^2

 15^2 = 225

 Espero ter ajudado :)