Question

Sabendo que x + y = 20 e x² - y² = 160, qual é o valor log de (x-y) na base 4?

Answer 1

Vamos, primeiro, precisar calcular o valor de (x-y).

Para isso, vamos lembrar do seguinte produto notável:

$\boxed{(a+b)\cdot(a-b)~=~a^2-b^2}$

Perceba a semelhança deste produto notável com os dados do texto.

Podemos então afirmar que:

$20\cdot(x-y)~=~160\\\\\\(x-y)~=~\dfrac{160}{20}\\\\\\\boxed{(x-y)~=~8}$

Agora sim, podemos passar ao calculo do logaritmo.

Para efeitos de calculo, diremos que o logaritmo de 8 na base 4 vale "a".

$\log_{_4}8~=~a\\\\\\Aplicando~a~\underline{de finicao}\\\\\\8~=~4^a\\\\\\\underline{Fatorando}~os~numeros~8~e~4\\\\\\2\cdot2\cdot2~=~(2\cdot2)^a\\\\\\2^3~=~\left(2^2\right)^a\\\\\\Aplicando~a~propriedade~da~\underline{potencia~de~potencia}\\\\\\2^3~=~2^{2a}\\\\\\2\!\!\!\backslash^3~=~2\!\!\!\backslash^{2a}\\\\\\3~=~2a\\\\\\\boxed{a~=~\dfrac{3}{2}~~ou~~ 1,5}$

Resposta: 3/2 ou 1,5