Question

Sabendo que uma das suas raízes da equação x^4 - 9x³ + 30x² - 42x + 20 = 0 é 3 + i determinar seu conjunto solução.

Answer 1

Vamos lá.

Rebeca, já respondemos uma questão sua sobre este mesmo assunto.
Tem-se: "Sabendo que uma das raízes da equação: x⁴ - 9x³ + 30x² - 42x + 20 = 0 é "3 + i" determinar seu conjunto solução."

Veja: se uma das raízes é o complexo "3+i", então o conjugado de "3+i" também será raiz. E o conjugado de "3+i" é "3-i".
Dessa forma, a expressão dada será divisível (deixa resto zero) pelo produto [x-(3+i)]*[x-(3-i)]. Vamos efetuar esse produto. Então:

[x-(3+i)]*[x-(3-i)] = x² - x*(3-i) - x*(3+i) + (3+i)*(3-i) =
= x² - 3x + ix - 3x - ix + 9-i² =
= x² - 6x + 9 - i² ---- como i² = -1, teremos:
= x² - 6x + 9 - (-1)
= x² - 6x + 9 + 1
= x² - 6x + 10  <---- Assim, a expressão dada será divisível por esta outra expressão que acabamos de encontrar.
Então vamos fazer a divisão:


x⁴ - 9x³ + 30x² - 42x + 20 |_x² - 6x + 10_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x² - 3x + 2 <---- quociente
-x⁴+6x³-10x²
----------------------------------
0 - 3x³+20x² - 42x + 20
..+3x³-18x² + 30x
-------------------------------
.....0 + 2x² - 12x + 20
........- 2x² + 12x - 20
------------------------------
. . . . . . 0.......0......0 <--- Veja que o resto teria que ser zero mesmo, pois a expressão original é divisível pelo produto das duas raízes.

Agora vamos encontrar as outras raízes a partir do quociente que encontramos aí em cima e que é este: x² - 3x + 2. Vamos igualá-lo a zero para encontrar as demais raízes. Assim:


x² - 3x + 2 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes;

x' = 1
x'' = 2.

Dessa forma, o conjunto-solução {x'; x''; x'''; x'''} será este (colocando-se as raízes em ordem crescente):

S = {1; 2; 3-i; 3+i} <--- Esta é a resposta quanto ao conjunto-solução.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.