Question

Sabendo que uma das raízes da equação x^4 –4x^3 +12x^2 +4x–13=0é(2–3i)determine as demais raízes.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jennysi, que a resolução é simples.
Pede-se as demais raízes da função abaixo, sabendo-se que uma dessas raízes é esta: "2-3i":

x⁴ - 4x³ + 12x² + 4x - 13 = 0

Veja: se uma raiz é complexa e é igual a "2-3i", então, necessariamente o conjugado de "2-3i" também será raiz da mesma função. E o conjugado de "2-3i" é "2+3i".
Agora note uma coisa: toda raiz ZERA a função da qual ela é raiz.
Isto significa que se substituirmos o "x" da função dada por "2-3i" ou por "2+3i" a função dada ZERARÁ, denotando que toda função é divisível (deixa resto zero) quando dividida por: "x-raiz".
Então se encontrarmos o produto de: (x-(2-3i)*(x-(2+3i)) a função dada será divisível por esse produto. Então vamos encontrar o produto acima:

(x-(2-3i))*(x-(2+3i) = (x-2+3i)*(x-2-3i) = x²-2x-3ix - 2x+4+6i + 3ix-6i-9i².
Vamos reduzir os termos semelhantes, ficando:

(x-2+3i)*(x-2-3i) = x² - 4x + 4 - 9i² ---- veja que i² = -1. Assim:
(x-2+3i)*(x-2-3i) = x² - 4x + 4 - 9*(-1)
(x-2+3i)*(x-2-3i) = x² - 4x + 4 + 9
(x-2+3i)*(x-2-3i) = x² - 4x + 13 <--- Este é o produto encontrado de "x" menos cada uma das duas raízes complexas.

Agora vamos tomar a equação dada e vamos dividir pelo produto acima e o resto deverá ser zero, como vamos ver daqui a pouco. Depois tomaremos o quociente que for obtido nessa divisão e encontraremos as duas outras raízes. Vamos fazer a divisão:

x⁴ - 4x³ + 12x² + 4x - 13 |_x²-4x+13_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x² - 1 <--- quociente. 
-x⁴+4x³-13x²
------------------------------
0...0  - x² + 4x - 13
. . . . .+x² - 4x + 13
------------------------------
..........0.....0........0 <--- Veja que o resto deveria ser zero mesmo.

Agora, tomaremos o quociente encontrado (x² - 1) e encontraremos as outras duas raízes da equação dada. Assim;

x² - 1 = 0
x² = 1
x = +-√(1) -------- como √(1) = 1, então ficaremos:
x = +- 1 ---- daqui você conclui que há duas raízes reais que são estas:

x' = - 1
x'' = 1.

Assim, as quatro raízes da equação dada serão:

Duas raízes reais, que são: x' = - 1 e x'' = 1
e
Duas raízes complexas que são: x''' = 2-3i e x'''' = 2+3i.

Assim, se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''; x'''; x''''} da seguinte forma,o que é a mesma coisa:

S = {-1; 1; (3-2i); (3+2i)}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.