Question

Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos
agudos são A e B, a hipotenusa mede 5cm e sen
B = 2sen A, encontre as medidas dos catetos. ​

Answer 1

Resposta:

Os catetos tem as seguintes medidas :

[AC] = 2 √5

[BC] = √5

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Sabendo que num triângulo retângulo os ângulos  agudos são A e B, a hipotenusa mede 5 cm e sen  B = 2 sen A, encontre as medidas dos catetos. ​

Resolução:  

Sabemos que os ângulos agudos são A e B , logo o triângulo é retângulo no vértice C.

Os catetos serão:

[AC] oposto a ângulo B  

[BC] oposto a ângulo A

Construir um sistema com os dados que temos :

sen B = [AC] / 5

sen A = [BC] / 5

sen B = 2 sen A  

5^2 = [AC] ² + [BC] ²

1ª e 2ª equações multiplicar ambos os membros por 5 para cancelar  

denominador 5

⇔

5*sen B = ( [AC] * 5) / 5

5 *sen A = ( [BC] * 5) / 5

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

⇔

substituir na 1ª equação sen B por 2 sen A

5*2 sen A = [AC]  

5 *sen A = [BC]  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

Dividir os dois membros da 1ª equação por 10

Dividir os dois membros da 2ª equação por 5

⇔

(10*senA) / 10 = [AC] / 10  

(5 *sen A) / 5 = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

⇔

senA = [AC] / 10  

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

Sendo sen A = [AC]  / 10  e sen A = [BC]  / 5  então [AC]  / 10 = [BC]  / 5

Substituir a 1ª equação por esta agora encontrada

[AC]  / 10 = [BC]  / 5

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

na 1ª equação fazer produto cruzado

⇔

5 * [AC] = 10 * [BC]  

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

na 1ª equação dividir ambos os membros por 5

⇔

(5 * [AC] ) / 5 = (10 * [BC] ) / 5

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

⇔

Substituir o valor encontrado de [AC] , na 4ª equação

[AC] = 2 [BC]

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 = ( 2* [BC] ) ² + [BC] ²

resolver 4ª equação  

⇔

[AC] = 2 [BC]

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 =  4* [BC] ² + [BC] ²

⇔

[AC] = 2 [BC]

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

25 =  5* [BC] ²

Na 4ª equação dividir tudo por 5

⇔

[AC] = 2 [BC]

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

5 =  [BC] ²

⇔

[AC] = 2 [BC]

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

+ √5 =  [BC]   ∨   - √5 =  [BC]  ( descartar a solução negativa)

Substituir o valor encontrado de  [BC] , na 1ª equação

[AC] = 2 √5

sen A = [BC]  / 5

sen B = 2 sen A  

[BC]  = √5

Dimensões dos catetos:  

[AC] = 2 √5

[BC] = √5

Sinais : ( * ) multiplicar   ( / ) dividir  ( ⇔ ) equivalente a  

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.