Question

Sabendo que um ponto P pertence a bissetriz dos quadrantes impares e que ele é equidistante dos pontos A ( 2, 5) e B ( - 4, - 1). Determine o ponto P

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que o valor do pnto é:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P \: \left(\:\dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \:\right) } }$

Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se, tiver coordenadas iguais. ( Vide a figura em anexo ).

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ P \in b_{\:13} \Leftrightarrow x_P = y_P } }$

A bissetriz $\boldsymbol{ \textstyle \sf b_{\:13} }$ é o conjunto dos pontos de coordenadas iguais:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ b_{\: 13} - \{ (\: a, a\:) | a \in \mathbb{R} \}} }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A\: (\: 2,5\: ) \\\sf B\: (\: -4, - 1\: )\\\sf P\: (\: x,y\: ) \end{cases} } }$

Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares possui a abscissa igual à ordenada. Apresenta forma x = y.

Aplicando o teorema da distância entre dois pontos, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overline{ \sf AP} = \overline{ \sf BP} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{(x- 2)^2 + (x-5)^2} = \sqrt{(x+ 4)^2 + (x+1)^2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left(\sqrt{(x- 2)^2 + (x-5)^2} \right)^2= \left(\sqrt{(x+ 4)^2 + (x+1)^2} \right)^2 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{(x-2)^2+ (x-5)^2 = (x+4)^2 +(x+1)^2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} -4x+4 +x^{2} -10x +25= x^{2} +8x +16 + x^{2} +2x+1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +x^{2} -x^{2} -x^{2} -4x-10x-8x-2x=-4-25+16+1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2x^{2} -2x^{2} -14x -10x = -29 +17 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -24x = -12 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x = \dfrac{-12}{-24} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = y= \dfrac{1}{2} }$

Portanto, o ponto procurado é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ P \: \left(\:\dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \:\right) } }$

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