Question

Sabendo que u + v =π/2
calcule o valor de
T = (cos(u) + cos(v))2 + (sen(u) − sen(v))2

Answer 1

O valor de T representando uma expressão trigonométrica equivale a 2.

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→ Dado a expressão

              $\Large\begin{array}{l}\sf T=\big(cos(u)+cos(v)\big)^2+\big(sen(u)-sen(v)\big)^2\end{array}$

, analisando vemos o quadrado da soma de dois termos, e o quadrado da diferença de dois termos, então vamos começar desenvolvendo através dos produtos notáveis

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²

, assim temos que:

$\\\\\begin{array}{l}\sf T=\big(cos(u)+cos(v)\big)^2+\big(sen(u)-sen(v)\big)^2\\\\\sf T=\big(cos(u)\big)^2+2\cdot cos(u)\cdot cos(v)+\big(cos(v)\big)^2+\big(sen(u)\big)^2-2\cdot sen(u)\cdot sen(v)+\big(sen(v)\big)^2\\\\\sf T=cos^2(u)+2^{}cos(u)^{}cos(v)+cos^2(v)+sen^2(u)-2^{}sen(u)^{}sen(v)+sen^2(v)\\\\\sf T=cos^2(u)+sen^2(u)+2^{}cos(u)^{}cos(v)+cos^2(v)+sen^2(v)-2^{}sen(u)^{}sen(v)\end{array}$

→ Pela relação fundamental da trigonometria, cos²(x) + sen²(x) = 1:

$\\\\\begin{array}{l}\sf T=\underbrace{\sf cos^2(u)+sen^2(u)}_1+2^{}cos(u)^{}cos(v)+\underbrace{\sf cos^2(v)+sen^2(v)}_1-2^{}sen(u)^{}sen(v)\\\\\sf T=1+2^{}cos(u)^{}cos(v)+1-2^{}sen(u)^{}sen(v)\\\\\sf T=2+2^{}cos(u)^{}cos(v)-2^{}sen(u)^{}sen(v)\end{array}$

→ Pelo cosseno da soma, podemos fazer o processo inverso, cos(x)cos(y) – sen(x)sen(y) = cos(x + y):

$\\\\\begin{array}{l}\sf T=2+2\cdot\big[\underbrace{\sf cos(u)^{}cos(v)-^{}sen(u)^{}sen(v)}_{\sf cos(u\,+\,v)}\big]\\\\\sf T=2+2\cdot cos(u+v)\end{array}$

→ Como o enunciado nos dá que u + v = π/2 então temos:

$\\\begin{array}{l}\sf T=2+2\cdot cos\bigg(\!\dfrac{~\pi~}{2}\!\bigg)\end{array}$

→ Por fim, pela tabela de valores trigonométricos, sabemos que cos(π/2) = 0:

$\\\begin{array}{l}\sf T=2+2\cdot0\\\\\sf T=2+0\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf T=2}}\end{array}$

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