Question

Sabendo que todas as raízes de um polinômio p(x) = x3 - 7x2 + 15x - 9 são inteiras e positivas. Encontre o valor da da maior raiz

Answer 1

$x^3-7x^2+15x-9=0$

Possíveis raízes pelo teorema das raízes racionais:

$\pm 1, \pm 3, \pm 9$

Como a questão nos informou que as raízes são positivas, as possíveis raízes são 1, 3 e 9. Testando 9 como raiz:

$p(9) = 9^3-7 \cdot 9^2+15 \cdot 9 - 9\\p(9) = 729 - 7 \cdot 81 + 135 - 9\\p(9) = 729 - 567 + 126\\p(9) = 288$

Como p(9) ≠ 0, 9 não pode ser uma raiz do polinômio.

Testando o 3:

$p(3) = 3^3-7 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 - 9\\p(3) = 27 - 7 \cdot 9 + 45 - 9\\p(3) = 28 - 63 + 45 - 9\\p(3) = -34 + 34\\p(3) = 0$

Logo, 3 é a maior raiz do polinômio.