Question

sabendo que tgx=2 e que
$\pi$

Answer 1

Tgx=2
Como tg(x)=sen(x)/cos(x)
sen(x)/cos(x)=2
sen(x)=2cos(x)
Chamemos esta equação de (I).

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, tem-se:
sen^2(x)+cos^2(x)=1
(Chamemos esta de equação de (II)

Substituindo a equação (I) em (II):

(2cosx)^2+cos^2(x)=1
4cos^2(x)+cos^2(x)=1
5cos^2(x)=1
cos^2(x)=1/5
cos(x)=√5/5

Como o ângulo está entre 180º e 270º (terceiro quadrante no ciclo trigonométrico), seus valores para seno e cosseno serão necessariamente negativos. Portanto:

cos(x)=-√5/5

Alternativa "B"

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Lolah, que esta questão também está fácil.

i) Pede-se para marcar a opção correta dentre várias opções fornecidas, sabendo-se que: tan(x) = 2 e que "x" está no seguinte intervalo:

π < x < 3π/2, o que equivale, em graus, ao intervalo: 180º < x < 270º (que é o terceiro quadrante do círculo trigonométrico).

ii) Agora veja, nesse intervalo tanto o seno como o cosseno são negativos. Logo, se tan(x) = sen(x)/cos(x), então a tangente deverá ser positiva mesmo, como realmente foi dada, que foi de tan(x) = 2.

iii) Agora vamos encontrar o sen(x) e o cos(x) em função de tan(x).Como já sabemos que sen(x)/cos(x) = tan(x) e como já foi dado que tan(x) = 2, então vamos substituir, ficando:

sen(x)/cos(x) = 2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
sen(x) = 2*cos(x) --- ou apenas:
sen(x) = 2cos(x).

Agora vamos pra 1ª relação fundamental da trigonometria, segundo a qual tem-se que:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen(x) por "2cos(x)", conforme vimos aí em cima, teremos:

[2cos(x)]² + cos²(x) = 1 ---- desenvolvendo, teremos;
4cos²(x) + cos²(x) = 1 ----- como 4cos²(x) + cos²(x) = 5cos²(x), teremos:
5cos²(x) = 1
cos²(x) = 1/5 --- isolando cos(x), teremos:
cos(x) =  ± √(1/5) ---- note que isto é equivalente a:
cos(x) =  ± √(1) / √(5) ---- como √(1) = 1, teremos:
cos(x) =  ± 1 / √(5) ----- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Fazendo isso, teremos:

cos(x) =  ± 1*√(5) / √(5)*√(5)
cos(x) =  ± √(5) / √(5*5)
cos(x) =  ± √(5) / √(25) ---- como √(25) = 5, teremos:
cos(x) =  ± √(5) / 5 ---- mas como no intervalo dado para o arco "x" é o terceiro quadrante, local em que tanto o seno como o cosseno são negativos, então tomaremos apenas a raiz negativa e igual a:

cos(x) = - √(5) / 5 <--- Este é o valor de cos(x).

iv) Agora, vamos utilizar a relação sen(x)/cos(x) = tan(x) para encontrar o valor de sen(x). Assim, teremos:

sen(x) / cos(x) = tan(x) ---- como tan(x) = 2 e cos(x) = - √(5)/5, teremos:
sen(x) / [-√(5)/5] = 2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
sen(x) = 2*(-√(5) / 5) ----- desenvolvendo, teremos que:
sen(x) = -2√(5) / 5  <--- Este vai ser o valor de sen(x).

Vamos encontrar também o valor de cotg(x), que é dado por:

cotg(x) = cos(x)/sen(x) ---- substituindo-se cos(x) e sen(x) por seus valores já encontrados acima, teremos:

cotg(x) = [-√(5)/5]/(-2√(5)/5] --- Veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:

cotg(x) = -√(5) / 5 * 5/-2√(5) ---- efetuando o produto indicado, teremos:
cotg(x) = -√(5)*5 / 5*(-2√(5) --- como, na divisão, menos com menos dá mais, então ficaremos assim:

cotg(x) = √(5)*5 / 5*2√(5) --- ou apenas:
cotg(x) = 5√(5) / 10√(5) ---- simplificando-se √(5) do numerador com √(5) do denominador, iremos ficar apenas com:

cotg(x) =5/10 --- finalmente, simplificando-se numerador e denominador por "5", iremos ficar apenas com:

cotg(x) =1/2 <--- Este é o valor de cotg(x).

Finalmente, vamos encontrar mais uma função trigonométrica que está nas opções fornecidas, e que é sec(x). Note que sec(x) é dada por:

sec(x) = 1/cos(x) ---- substituindo-se cos(x) por seu valor, teremos:
sec(x) = 1 / - [√(5) / 5] ---- note que isto é equivalente a:
sec(x) = 5 / -√(5) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Assim, fazendo isso, teremos:

sec(x) = 5√(5) / -√(5)*√(5)
sec(x) = 5√(5) / - √(5*5) ---- ou apenas:
sec(x) = 5√(5) / - √(25) ---- como √(25) = 5, teremos:
sec(x) = 5√(5) / - 5 ---- colocando-se o sinal de menos para antes da expressão, iremos ficar apenas com:

sec(x) = -5√(5) / 5 ---- finalmente, simplificando-se numerador e denominador por "5", iremos ficar apenas com:

sec(x) = - √(5) <--- Este é o valor de sec(x).


vi) Assim, como visto nas opções fornecidas, a única correta é a opção "b", que informa isto:

cos(x) = - √(5) / 5 <--- Esta é a resposta. Opção "b".[

Note que todas as outras são falsas. A única correta é a opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.