Sabendo que tgØ=2, escolha uma:
a) cosØ=±2√5/5
b) cosØ= 3√5/5
c) senØ=3√5/5
d) cosØ= -2√5/5
e) senØ=-√5/5
f) senØ=±2√5/5
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Roxas, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Sabendo-se que tan(Ф) = 2, escolha uma das opções abaixo como a correta (aí são dadas várias opções, que vão da letra "a" até a letra "f").
ii) Veja que tan(x) = sen(x)/cos(x). Então deveremos ter que:
tan(Ф) = sen(Ф)/cos(Ф) ----- como tan(Ф) = 2, teremos:
2 = sen(Ф)/cos(Ф) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2cos(Ф) = sen(Ф) ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
sen(Ф) = 2cos(Ф) . (I).
iii) Agora vamos utilizar a primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual temos que:
sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen²(x) por 2cos(Ф), teremos:
[2cos(Ф)]² + cos²(Ф) = 1 ---- desenvolvendo, temos:
4cos²(Ф) + cos²(Ф) = 1 ----- como "4cos²(Ф) + cos²(Ф) = 5cos²(Ф)", temos:
5cos²(Ф) = 1 ----- isolando cos²(Ф), ficaremos com:
cos²(Ф) = 1/5 ---- isolando cos(Ф), vamos ficar com:
cos(Ф) = ±√(1/5) ----- note que isto é equivalente a:
cos(Ф) = ± √(1)/√(5) ---- para racionalizar, multiplicaremos ambos os membros por √(5). Assim, teremos:
cos(Ф) = 1*√(5) / √(5)*√(5) ------ desenvolvendo, temos:
cos(Ф) = √(5)/√(5*5)
cos(Ф) = ±√(5)/√(25) ----- como √(25) = 5, teremos:
cos(Ф = ± √(5) / 5 <---- Este deverá ser o valor de cos(Ф), com o sinal de "±" antes, pois não sabemos em que quadrante está o arco cuja tangente é igual a "2". Veja que, quanto ao cos(Ф) não temos nenhuma opção que dê que ele seja igual a "± √(5)/5". Então vamos ver qual será o sen(Ф), que também deverá vir precedido por "±", pela mesma razão já vista aí em cima. Como já vimos, pela expressão (I), que sen(Ф) = 2cos(Ф), então vamos utilizar essa expressão, que é:
sen(Ф) = 2cos(Ф) ----- substituindo-se cos(Ф) por "±√(5)/5" já visto aí em cima, teremos:
sen(Ф) = 2*[±√(5)/5] ---- ou, o que é a mesma coisa:
sen(Ф) = ±2√(5)/5 <--- Esta é a resposta. Opção "f". Ou seja, esta é a resposta, pois é a única opção correta que existe em todas as opções listadas.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
f) sen teta = (+- 2.raiz de (5)/5
Explicação passo-a-passo:
..Considere teta = x
Tg x = 2..=> sen x / cos x = 2
..=> sex x = 2 . cos x
Pela relação fundamental:
sen² x + cos² x = 1, temos:
(2 . cos x)² + cos² x = 1
4 . cos² x + cos² x = 1
5 . cos² x = 1
cos² x = 1 / 5
cos x = +- raiz de (1/5)
cos x = + - raiz de (5)/5
sen x = 2 . cos x
sen x = 2 . (+- raiz de (5)/5
..Como tag x = 2, x pertence ao 1° e
3º quadrantes.