Question

Sabendo que Tg x= 3, determine SEN X e COS X, sabendo que o arco é de terceiro quadrante.

Answer 1

Sabendo que x é do 3º quadrante, e que

    tg x = 3

calcular sen x e cos x.

    $\mathsf{tg\,x=3}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{sen\,x}{cos\,x}=3}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=3\,cos\,x\qquad (i)}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

    $\mathsf{(sen\,x)^2=(3\,cos\,x)^2}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=9\,cos^2\,x}$

Mas cos² x = 1 − sen² x. Substituindo na igualdade acima, ficamos com

    $\mathsf{sen^2\,x=9\cdot (1-sen^2\,x)}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=9-9\,sen^2\,x}\\\\ \mathsf{sen^2\,x+9\,sen^2\,x=9}\\\\ \mathsf{10\,sen^2\,x=9}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=\dfrac{9}{10}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=\pm\,\sqrt{\dfrac{9}{10}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=\pm\,\dfrac{3}{\sqrt{10}}}$

Como x é do 3º quadrante, então sen x é negativo. Logo,

    $\mathsf{sen\,x=-\,\dfrac{3}{\sqrt{10}}\qquad\checkmark}$

Substituindo em (i), encontramos cos x:

    $\mathsf{sen\,x=3\,cos\,x}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{sen\,x}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{~-\frac{3}{\sqrt{10}}~}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=-\,\dfrac{\diagup\!\!\!\! 3}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 3}}$

    $\mathsf{cos\,x=-\,\dfrac{1}{\sqrt{10}}\qquad\checkmark}$

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Bons estudos! :-)