Question

Sabendo que $sen \alpha = \frac{5}{12}$ e que [tex]\alpha < 90°, determine a medida BC, no triângulo a seguir, sabendo que AC = 20.

Answer 1

Resposta:$24\sqrt{3}$

Explicação passo a passo:

O triângulo em questão é escaleno, ou seja, possui todos os ângulos e lados com valores diferentes.

Levando-se em consideração algumas propriedades de ângulos podemos achar os valores que faltam.

Note que no enunciado é falado que o $\alpha$ é menor que 90°, ou seja, o ângulo é agudo. Quando somado ao ângulo de 60º, ainda mantém-se um ângulo menor que 90º. Podendo se concluir que o ângulo $\alpha$ é menor ou igual a 29° e maior ou igual a  1° ( pois o maior ângulo agudo possível é 89°, não considerando minutos e segundos.)

Assim:

1° $\leq$ $\alpha$ $\leq$ 29°

Mas bem, essa foi uma observação.

Outra possível é, como o triângulo está sobre um plano, então podemos dizer que:

$180 = 60 + \alpha + \beta$

sendo $\beta$ o ângulo complementar.

assim:

$\alpha + \beta = 120$°

Agora relacionando ao desenho. Podemos desenhar uma reta paralela ao plano onde está o triângulo, de modo que essa reta tangencie o vértice B do triângulo.

(Vou deixar o desenho no final)

Agora que temos duas retas paralelas, podemos relacionar os ângulos através de propriedades.

Temos dois lados do triângulo que relaciona as duas retas: o segmento BC e o segmento AB. Sendo assim, podemos relacionar os ângulos existentes em cada uma das retas através desses segmentos transversais que as interceptam.

60 + $\alpha$ será um dos alterno interno , ou seja, os dois possuem o mesmo valor em lados alternados a reta BC

e, por conseguinte, β tbm será alterno interno.

Como o segmento AB tbm intercepta as duas retas paralelas, a relação de ângulos tbm vale para elas assim

60º é um alterno interno do segmento BA com a reta s e $\alpha + \beta$ é outro alterno interno.

É possível, então, concluir que o ângulo do vértice ABC é:

ABC = 60 + $\alpha$ - 60

ABC = $\alpha$

Agora, seguindo a Lei dos Senos, podemos achar a constante de proporcionalidade entre a medida e o seno do ângulo oposto.

Assim:

$\frac{20}{sen \alpha } = \frac{20}{ \frac{5}{12} } = \frac{20 * 12 }{5} = 4* 12 = 48$

Assim, a constante de proporcionalidade para qualquer lado do triângulo e o seno de seu ângulo oposto é 48. Sendo assim, podemos encontrar o lado BC.

$\frac{BC}{sen 60} = 48$

$\frac{BC}{\frac{\sqrt{3} }{2} } = 48$

$BC = \frac{48\sqrt{3} }{2}$

$BC = 24\sqrt{3}$

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OBS: Fiz pelo Paint, não ficou muito bem desenhado

Answer 2

Sabemos pelo o teorema do ângulo externo que o ângulo externo em um vértice de um triângulo será a soma dos ângulos internos não adjacentes a Ele, isto é :

$\sf \angle{A}+\angle{B} =60^\circ+ \alpha \\\\ 60^\circ +\angle{B} = 60^\circ +\alpha \\\\ \angle{B } = 60^\circ +\alpha - 60^\circ \\\\ \boxed{\sf \angle{B} = \alpha }$

Daí vamos aplicar lei dos senos no triângulo da seguinte forma :

$\displaystyle \sf \frac{BC}{sen(60^\circ)}=\frac{AC}{sen(B)} \\\\\\ \frac{BC}{sen(60^\circ)}=\frac{AC}{sen(\alpha)} \\\\\\ BC = \frac{AC\cdot sen(60^\circ)}{sen(\alpha)} \\\\\\ BC = \frac{\displaystyle \frac{20\cdot \sqrt{3}}{2}}{\displaystyle \frac{5}{12}} \\\\\\ BC = \frac{10\sqrt{3}\cdot 12 }{5} \\\\\\ \huge\boxed{\sf BC = 24\cdot \sqrt{3}\ } \checkmark$