Question

Sabendo que

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n}$ k · log(k + 1) = S,

escreva uma expressão para o somatório
$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n}$ log[(k + 1)!]

em função de S.

Answer 1

Seja $a_{k}$ uma sequência

Definimos o operador de diferença anterior de $a_{k}$ como

$\Delta(a_{k})=a_{k+1}-a_{k}$

Com isso, temos que

$\displaystyle\sum_{k=j}^{n}\Delta(a_{k})=a_{n+1}-a_{j}$

Além disso, pode-se mostrar que

$\displaystyle\sum_{k=j}^{n}a_{k}\Delta(b_{k})=a_{k}b_{k}\bigg|_{k\,=\,j}^{k\,=\,n+1}\,-\,\sum_{k=j}^{n}\Delta(a_{k})b_{k+1}$

que seria uma espécie de "soma por partes" (semelhante a fórmula de integração definida por partes)
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Primeiramente, vamos achar $\Delta\big(\log\,k!\big)$

$\Delta\big(\log\,k!\big)=\log\,(k+1)!-\log\,k!\\\\\\\Delta\big(\log\,k!\big)=\log\dfrac{(k+1)!}{k!}\\\\\\\Delta\big(\log\,k!\big)=\log\dfrac{(k+1)\cdot k!}{k!}\\\\\\\boxed{\boxed{\Delta\big(\log\,k!\big)=\log\,(k+1)}}$

Então, temos que

$S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\cdot\log\,(k+1)=\sum_{k=0}^{n}k\Delta(b_{k})=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\Delta(b_{k})$

onde $a_{k}=k$ e $b_{k}=\log\,k!$.

Pela fórmula da "soma parcial", temos então

$S=a_{k}b_{k}\displaystyle\bigg|_{k\,=\,0}^{k\,=\,n+1}\,-\,\sum_{k=0}^{n}\Delta(a_{k})b_{k+1}\\\\\\S=k\log\,k!\bigg|_{k\,=\,0}^{k\,=\,n+1}-\sum_{k=0}^{n}\Delta(k)\log\,(k+1)!$

Mas $\Delta(k):=(k+1)-k=1$, então

$S=k\displaystyle\log\,k!\bigg|_{k\,=\,0}^{k\,=\,n+1}-\sum_{k=0}^{n}\Delta(k)\log\,(k+1)!\\\\\\S=k\log\,k!\bigg|_{k\,=\,0}^{k\,=\,n+1}-\sum_{k=0}^{n}\log\,(k+1)!\\\\\\S=(n+1)\log\,(n+1)!-0\log\,(0+1)!-\sum_{k=0}^{n}\log\,(k+1)!\\\\\\S=(n+1)\log\,(n+1)!-\sum_{k=0}^{n}\log\,(k+1)!\\\\\\S+\sum_{k=0}^{n}\log\,(k+1)!=(n+1)\log\,(n+1)!$

Concluímos que

$\boxed{\boxed{\sum_{k=0}^{n}\log\,(k+1)!=(n+1)\log\,(n+1)!-\mathsf{S}}}$