Question

Sabendo que,


$\mathsf{\dfrac{x}{x^2+3x+1}=a}$


Onde a e x são números reais não nulos.

Determine:


$\mathsf{\dfrac{x^2}{x^4+3x^2+1}}$


Em função de a.


_______________

Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Temos que $\mathsf{\dfrac{x}{x^2+3x+1}=a}$. Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos:

$\mathsf{\left(\dfrac{x}{x^2+3x+1}\right)^2=a^2~\hookrightarrow~\dfrac{x^2}{(x^2+3x+1)^2}=a^2}$


$\mathsf{\hookrightarrow~\dfrac{x^2}{x^4+6x^3+11x^2+6x+1}=a^2~~(i)}$

Queremos determinar $\mathsf{\dfrac{x^2}{x^4+3x^2+1}}$. Para isso, vamos elevar ambos os membros de $\mathsf{(i)}$ a $\mathsf{-1}$, obtendo:

$\mathsf{\left(\dfrac{x^2}{x^4+6x^3+11x^2+6x+1}\right)^{-1}=(a^2)^{-1}}$

$\mathsf{\hookrightarrow~\dfrac{x^4+6x^3+11x^2+6x+1}{x^2}=\dfrac{1}{a^2}~~(ii)}$

Mas, $\mathsf{x^4+6x^3+11x^2+6x+1=(x^4+3x^2+1)+6x^3+8x^2+6x}$, substituindo em $\mathsf{(ii})}$, temos:

$\mathsf{\dfrac{(x^4+3x^2+1)+6x^3+8x^2+6x}{x^2}=\dfrac{1}{a^2}}$

$\mathsf{\hookrightarrow~\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}+\dfrac{6x^3+8x^2+6x}{x^2}=\dfrac{1}{a^2}}$

$\mathsf{\hookrightarrow~\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}+\dfrac{6x^2+8x+6}{x}=\dfrac{1}{a^2}}$

$\mathsf{\hookrightarrow~\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}+\dfrac{6x^2+18x+6-10x}{x}=\dfrac{1}{a^2}}$

$\mathsf{\hookrightarrow~\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}+\dfrac{6x^2+18x+6}{x}-\dfrac{10x}{x}=\dfrac{1}{a^2}}$

$\mathsf{\hookrightarrow~\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}+6\cdot\left(\dfrac{x^2+3x+1}{x}\right)-10=\dfrac{1}{a^2}~~(iii)}$

Como $\mathsf{\dfrac{x}{x^2+3x+1}=a}$, podemos afirmar que $\mathsf{\dfrac{x^2+3x+1}{x}=\dfrac{1}{a}}$, substituindo em $\mathsf{(iii)}$, segue que:

$\mathsf{\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}+\dfrac{6}{a}-10=\dfrac{1}{a^2}~\hookrightarrow~\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{6}{a}+10}$

$\mathsf{\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^2}=\dfrac{1-6a+10a^2}{a^2}~\hookrightarrow\dfrac{x^2}{x^4+3x^2+1}=\dfrac{a^2}{10a^2-6a+1}}$