Question

Sabendo que $\begin{array}{c}\sf log_3(7x-1)=3\end{array}$ e que $\begin{array}{c}\sf log_2(y^3+3)=7\end{array}$ pode-se afirmar que $\begin{array}{c}\sf log_y(x^2+9)\end{array}$ é igual a:

A)6
B)2
C)4
D)-2
E)-4​

Answer 1

Basicamente, usando as propriedades mais básicas do logaritmo você consegue achar.

Achei primeiro o x, depois o y e por fim achei a resposta.

Segue o anexo :)

Answer 2

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⠀⠀Pode-se afirmar que o valor do logaritmo indicado é igual a 2 e, portanto, a alternativa b) é a correta.

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⠀⠀Extraindo tudo o que é-nos dito pelo enunciado, temos que log₃ (7x – 1) = 3, log₂ (y³ + 3) = 7 e assim, desejamos determinar o valor de logᵧ (x² + 9).

⠀⠀De cara percebemos que para encontrar o valor do logaritmo proposto é preciso encontrarmos os valores de x e y nas duas equações logarítmicas dadas. Para isso será necessário usarmos a definição dos logaritmos. Pra você entender vamos acatar logₙ (m) = k (lê-se: logaritmo de ''m'' na base ''n'' igual a ''k''). Considerando sua condição de existência — que é a circunstância para esse logaritmo existir — ser m > 0 e 0 < n ≠ 1, onde m e n são números reais, podemos afirmar que logₙ (m) = k ⇔ m = nᵏ (lê-se: logaritmo de ''m'' na base ''n'' é igual a ''k'' se, e somente se, ''m'' é igual a ''n'' elevado a ''k''). Veja que é por causa dessa equação exponencial onde concluímos que ''m'' deve ser positivo e ''n'' deve ser positivo mas diferente de 1 (um). Portanto, encerro essa parte reiterando que logₙ (m) = k ⇔ m = nᵏ é a tão valiosa definição de logaritmo que usaremos no decorrer da resolução desta questão, então sempre que haver situações com logaritmos você precisa lembrar dela.

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⠀⠀Começando a resolução, vamos encontrar o valor de x na primeira equação. Note que pela variável se situar no logaritmando devemos impor a condição de existência. Se o logaritmando deve ser positivo, então 7x – 1 > 0 ⇒ 7x > 1 ⇒ x > 1/7. Portanto, x deve ser restritamente maior que 1/7 (que é aproximadamente 0,143). Prosseguindo, através da definição supracitada teremos:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf log\:\!_3\,(7x-1)=3\\\\\\\sf\implies~~~~7x-1=3^3\\\\\\\sf\implies~~~~7x-1=27\\\\\\\sf\implies~~~~7x=27+1\\\\\\\sf\implies~~~~7x=28\\\\\\\sf\implies~~~~x=\dfrac{28}{7}\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf x=4}\end{array}$

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⠀⠀Veja que o valor de x satisfaz a condição imposta.

⠀⠀Agora para encontrar o valor de y é a mesma coisa, imporemos a condição de existência para o logaritmo da segunda equação uma vez que ''y'' se situa no logaritmando. Assim, temos que y³ + 3 > 0 ⇒ y³ > – 3 ⇒ y > ∛(– 3) ⇒ y > – ∛3. Portanto, y deve ser restritamente maior que – ∛3 (que é aproximadamente – 1,44). Prosseguindo, aplicando a definição teremos:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf log\:\!_2\,(y^3+3)=7\\\\\\\sf\implies~~~~y^3+3=2^7\\\\\\\sf\implies~~~~y^3+3=128\\\\\\\sf\implies~~~~y^3=128-3\\\\\\\sf\implies~~~~y^3=125\\\\\\\sf\implies~~~~y=\sqrt[\sf3]{\sf125}\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf y=5}\end{array}$

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⠀⠀Note também que o valor de y satisfaz a condição imposta.

⠀⠀Dessa forma, se x = 4 e y = 5, basta fazermos a substituição no logaritmo apresentado e determinar seu valor:

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$\begin{array}{l}\sf log\:\!_y\,(x^2+9)=log\:\!_5\,(4^2+9)\\\\\\\sf log\:\!_y\,(x^2+9)=log\:\!_5\,(16+9)\\\\\\\sf log\:\!_y\,(x^2+9)=log\:\!_5\,(25)\\\\\\\sf log\:\!_y\,(x^2+9)=log\:\!_5\,(5^2)\\\\\\\sf log\:\!_y\,(x^2+9)=log\:\!_5\,(5)\cdot2\\\\\\\sf log\:\!_y\,(x^2+9)=1\cdot2\\\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf log\:\!_y\,(x^2+9)=2}}\end{array}$

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⠀⠀Assim, reiterando os últimos passos: foi preciso aplicar a propriedade ''logaritmo da potência'', em que logₙ (mᵏ) = logₙ (m) · k e depois, como é sabido por uma consequência da definição, o logaritmo que possui um logaritmando e uma base iguais é igual a 1 (um), ou seja, logₘ (m) = 1, por isso que tínhamos feito log₅ (5) = 1.

⠀⠀Dessarte, concluímos que a alternativa b) 2 responde a questão.

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                         $\large\boldsymbol{\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}}$

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

brainly.com.br/tarefa/38073448

brainly.com.br/tarefa/38016884

brainly.com.br/tarefa/38057636

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          $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit}$