Question

Sabendo que T:R^2 ->R^3 é uma transformação Linear e que
T(1,-1) = (3,2,2) e T(-1,2)=(1,-1,3):

Determine:

a) T(x,y) = ?
b) T(3,1) = ?

Answer 1

a)
Considerando T(x, y) = (a₁x + b₁y , a₂x + b₂y , a₃x + b₃y), como a lei que define essa transformação linear, precisamos determinar os coeficientes a₁, b₁, a₂, b₂, a₃ e b₃.
Para isso, a partir das informações dadas, vamos determinar três sistemas de equações.

T(x, y) = (a₁x + b₁y , a₂x + b₂y , a₃x + b₃y)
T(1, -1) = (a₁(1) + b₁(-1) , a₂(1) + b₂(-1) , a₃(1) + b₃(-1))
T(1, -1) = (a₁ - b₁ , a₂ - b₂ , a₃ - b₃)

Como T(1, -1) = (3, 2, 2), temos que:

T(1, -1) = (a₁ - b₁ , a₂ - b₂ , a₃ - b₃)
(3, 2, 2) = (a₁ - b₁ , a₂ - b₂ , a₃ - b₃)

Isso, nada mais é do que três equações:

(3, 2, 2) = (a₁ - b₁ , a₂ - b₂ , a₃ - b₃)

3 = a₁ - b₁
2 = a₂ - b₂
2 = a₃ - b₃

Por outro lado, temos que:

T(x, y) = (a₁x + b₁y , a₂x + b₂y , a₃x + b₃y)
T(-1, 2) = (a₁(-1) + b₁(2) , a₂(-1) + b₂(2) , a₃(-1) + b₃(2))
T(-1, 2) = (-a₁ + 2b₁ , -a₂ + 2b₂ , -a₃ + 2b₃)

Como T(-1, 2) = (1, -1, 3), temos que:

T(-1, 2) = (-a₁ + 2b₁ , -a₂ + 2b₂ , -a₃ + 2b₃)
(1, -1, 3) = (-a₁ + 2b₁ , -a₂ + 2b₂ , -a₃ + 2b₃)

Daí, também tiramos três equações:

(1, -1, 3) = (-a₁ + 2b₁ , -a₂ + 2b₂ , -a₃ + 2b₃)

1 = -a₁ + 2b₁
-1 = -a₂ + 2b₂
3 = -a₃ + 2b₃

Com as 6 equações obtidas acima, podemos montar três sistemas de duas equações e duas icógnitas. Vejamos:

3 = a₁ - b₁
1 = -a₁ + 2b₁

2 = a₂ - b₂
-1 = -a₂ + 2b₂

2 = a₃ - b₃
3 = -a₃ + 2b₃

Vamos resolver os sistemas somando as equações para determinar o valor do coeficiente "b" de cada sistema, depois substituímos o valor de "b" na 1ª equação de cada sistema para determinar o valor do coeficiente "a".

Sistema 1:

3 = a₁ - b₁
1 = -a₁ + 2b₁

3 + 1 = a₁ -a₁ - b₁ + 2b₁
4 = b₁
b₁ = 4

3 = a₁ - b₁
3 = a₁ - 4
3 + 4 = a₁
a₁ = 7

Sistema 2:

2 = a₂ - b₂
-1 = -a₂ + 2b₂

2 - 1  = a₂ - a₂  - b₂ + 2b₂
1 = b₂
b₂ = 1

2 = a₂ - b₂
2 = a₂ - 1
2 + 1 = a₂
a₂ = 3

Sistema 3:

2 = a₃ - b₃
3 = -a₃ + 2b₃

2 + 3 = a₃ - a₃ - b₃ + 2b₃
5 = b₃
b₃ = 5

2 = a₃ - b₃
2 = a₃ - 5
2 + 5 = a₃
a₃ = 7

Com os valores dos coeficientes definidos, voltamos a lei que define a transformação e substituimos os valores dos coeficientes.

T(x, y) = (a₁x + b₁y , a₂x + b₂y , a₃x + b₃y)
T(x, y) = ((7)x + (4)y , (3)x + (1)y , (7)x + (5)y)
T(x, y) = (7x + 4y , 3x + y , 7x + 5y)


b)
Com a lei de transformação definida acima, vamos calcular o valor de T(3, 1)

T(x, y) = (7x + 4y , 3x + y , 7x + 5y)
T(3, 1) = (7(3) + 4(1) , 3(3) + (1) , 7(3) + 5(1))
T(3, 1) = (21 + 4 , 9 + 1 , 21 + 5)
T(3, 1) = (25 , 10 , 26)