Question

Sabendo que senx +cosx= m
calcule $sen^5x +cos^5x$ em função de m

Answer 1

Primeiro de tudo, basta expandirmos o binômio de Newton para (sen + cos) elevado à quinta potência:

$= sen^{5} + 5 sen^{4} cos + 10 sen^{3} cos^{2} + 10 sen^{2} cos^{3} + 5 sencos^{4} + cos^{5}$

obs: claro que todos os argumentos são "x".

Isso pode ser reescrito sob a forma:

$= sen^{5} + cos^{5} + 5 sen cos (sen^{3} + cos^{3}) + 10 sen^{2} cos^{2} (sen + cos)$

Precisamos ainda da expansão para o termo (sen + cos)³:

$= sen^{3} + 3 sen^{2} cos + 3 sen cos^{2} + cos^{3}$

Que pode também ser reescrito como:

$= sen^{3} + cos^{3} + 3 sen cos (sen + cos)$

Unindo tudo, temos:

$(sen + cos)^{5} = sen^{5} + cos^{5} + 5 sen cos [(sen + cos)^{3}$

$- 3sen cos (sen + cos)] + 10 sen^{2} cos^{2} (sen + cos)$

Então

$sen^{5} + cos^{5} = (sen + cos)^{5} - 5 sen cos [(sen + cos)^{3}$
$+ 3sen cos (sen + cos)] - 10 sen^{2} cos^{2} (sen + cos)$

Do exercício, sabemos que
$sen + cos = m$

E disso segue que:
$(sen + cos)^{2} = sen^{2} + 2sencos + cos^{2} \rightarrow sencos = \frac{m^{2} -1}{2}$

Assim, usando isso, temos:

$sen^{5} + cos^{5} = m^{5} - 5 (\frac{m^{2} - 1}{2}) [m^{3} + 3m ( \frac{m^{2}-1}{2} ) ] - 10m ( \frac{m^{2}-1}{2} )^{2}$

Unindo os termos semelhantes encontramos:

$sen^{5} + cos^{5} = \frac{-m^{5} + 5m}{4}$

Espero ter ajudado. Bons estudos!

Answer 2

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Definamos:

$\large\begin{array}{l} \mathsf{sen\,x=a,~~cos\,x=b}\\\\ \textsf{de modo que}\\\\ \mathsf{sen\,x+cos\,x=a+b=m.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Vamos usar tamb\'em o fato de que}\\\\ \mathsf{a^2+b^2=sen^2\,x+cos^2\,x}\\\\ \mathsf{a^2+b^2=1}\qquad\quad\textsf{(Rela\c{c}\~ao Trigonom\'etrica Fundamental)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Basicamente, lembremos do desenvolvimento de alguns bin\^omios:}\\\\ \mathsf{a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5b^4+b^5=(a+b)^5}\\\\ \mathsf{a^5+b^5=(a+b)^5-(5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5b^4)}\\\\\\ \textsf{Colocando }\mathsf{5ab}\textsf{ em evid\^encia, obtemos}\\\\ \mathsf{a^5+b^5=(a+b)^5-5ab\,(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)}\\\\\\ \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{a^5+b^5=(a+b)^5-5ab\,\big[a^3+(3-1)a^2b+(3-1)ab^2+b^3\big]}\\\\ \mathsf{a^5+b^5=(a+b)^5-5ab\,\big[\underbrace{\mathsf{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}}-a^2b-ab^2\big]}\\\\ \mathsf{a^5+b^5=(a+b)^5-5ab\,\big[(a+b)^3-a^2b-ab^2\big]}\\\\ \mathsf{a^5+b^5=(a+b)^5-5ab\,\big[(a+b)^3-ab\,(a+b)\big]}\\\\ \mathsf{a^5+b^5=(a+b)^5-5ab\,(a+b)\,\big[(a+b)^2-ab\big]\qquad(i)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Por\'em,}\\\\ \mathsf{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\\\\ \mathsf{2ab=(a+b)^2-a^2-b^2}\\\\ \mathsf{2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)}\\\\ \mathsf{2ab=(a+b)^2-1}\\\\ \mathsf{ab=\dfrac{1}{2}\,\big[(a+b)^2-1\big]\qquad(ii)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Substituindo (ii) em (i), obtemos}\\\\ \begin{array}{ll} =&\!\!\mathsf{a^5+b^5}\\\\\\=&\!\!\mathsf{(a+b)^5}\\\\&\!\!\mathsf{-\,5\cdot \dfrac{1}{2}\big[(a+b)^2-1\big]\cdot (a+b)\cdot \left[(a+b)^2-\dfrac{1}{2}\cdot \big[(a+b)^2-1\big]\right]}\\\\\\ =&\!\!\mathsf{m^5-\,5\cdot \dfrac{\,1\,}{2}\,(m^2-1)\cdot m\cdot \left[m^2-\dfrac{\,1\,}{2}\cdot (m^2-1)\right]}\\\\\\ =&\!\!\mathsf{m^5-\dfrac{\,5\,}{2}\,(m^2-1)\cdot m\cdot \left[m^2-\dfrac{\,1\,}{2}\,m^2+\dfrac{\,1\,}{2}\right]} \end{array} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} =\mathsf{m^5-\dfrac{\,5\,}{2}\,(m^2-1)\cdot m\cdot \left[\dfrac{\,1\,}{2}\,m^2+\dfrac{\,1\,}{2}\right]}\\\\ =\mathsf{m^5-\dfrac{\,5\,}{2}\,(m^2-1)\cdot m\cdot \dfrac{\,1\,}{2}\,(m^2+1)}\\\\ =\mathsf{m^5-\dfrac{\,5\,}{4}\,(m^2-1)\cdot (m^2+1)\cdot m} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} =\mathsf{m^5-\dfrac{\,5\,}{4}\,(m^4-1)\cdot m}\\\\ =\mathsf{m^5-\dfrac{\,5\,}{4}\,(m^5-m)}\\\\ =\mathsf{m^5-\dfrac{\,5\,}{4}\,m^5+\dfrac{\,5\,}{4}\,m}\\\\ =\mathsf{-\,\dfrac{\,1\,}{4}\,m^5+\dfrac{\,5\,}{4}\,m}\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{-\,\dfrac{\,1\,}{4}\,m\cdot (m^4-5)}\end{array}}\qquad\longleftarrow\quad\textsf{resposta simplificada.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags:   identidade trigonométrica transformação fatoração soma de potência seno cosseno sen cos binômio de newton triângulo de pascal trigonometria