Question

Sabendo que senx = 1/3 com x pertencente ao 2º quadrante, determine cotg x

Answer 1

$\mathrm{cotg\,}x=\dfrac{\cos x}{\mathrm{sen\,}x}~~~~~~\mathbf{(i)}$


$x$ é do 2º quadrante, onde o seno e o cosseno têm sinais opostos. Logo o quociente que define a cotangente é negativo.

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Elevando os dois lados de $\mathbf{(i)}$ ao quadrado, temos

$\mathrm{cotg^2\,}x=\left(\dfrac{\cos x}{\mathrm{sen\,}x} \right )^{\!\!2}\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=\dfrac{\cos^2 x}{\mathrm{sen^2\,}x}~~~~~~(\text{mas }\cos x=1-\mathrm{sen^2\,}x)\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=\dfrac{1-\mathrm{sen^2\,}x}{\mathrm{sen^2\,}x}~~~~~~\left(\text{mas }\mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{3}\right)\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=\dfrac{1-\left(\frac{1}{3} \right )^{\!\!2}}{\left(\frac{1}{3} \right )^{\!\!2}}\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=\dfrac{1-\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}}\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=\left(1-\frac{1}{9} \right )\cdot 9\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=\left(\dfrac{9}{9}-\frac{1}{9} \right )\cdot 9\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=\left(\dfrac{9-1}{9} \right )\cdot 9$

$\mathrm{cotg^2\,}x=\dfrac{8}{\diagup\!\!\!\! 9}\cdot \diagup\!\!\!\! 9\\\\\\ \mathrm{cotg^2\,}x=8\\\\ \mathrm{cotg\,}x=-\sqrt{8}\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathrm{cotg\,}x=-2\sqrt{2} \end{array}}$


( pela observação inicial de que a cotangente no 2º quadrante é negativa)


Bons estudos! :-)