Question

Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine sec x x.

Quem sabe responder essa?

Answer 1

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$


Eleve os dois lados ao quadrado:

$\sec^2 x=\left(\dfrac{1}{\cos x} \right )^{\!\!2}\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}~~~~~~(\text{mas }\cos^2 x=1-\mathrm{sen^2\,}x)\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{1}{1-\mathrm{sen^2\,}x}~~~~~~\left(\text{mas }\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{1}{1-\left(-\,\frac{1}{2} \right )^{\!2}}\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{1}{1-\frac{1}{4}}$

$\sec^2 x=\dfrac{1}{\frac{4}{4}-\frac{1}{4}}\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{1}{\left(\frac{4-1}{4} \right )}\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{4}{4-1}\\\\\\ \sec^2 x=\dfrac{4}{3}\\\\\\ \sec x=\pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}\\\\\\ \sec x=\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$


Mas $x$ é do 4º quadrante, logo tem cosseno positivo e como a secante é o inverso do cosseno, a secante também será positiva. Portanto,

$\boxed{\begin{array}{c}\sec x=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \end{array}}$


ou caso queira racionalizar o denominador (o que não é necessário)

$\sec x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\\\ \sec x=\dfrac{2\sqrt{3}}{\big(\sqrt{3}\big)^{\!2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\sec x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{array}}$


Bons estudos! :-)