Question

Sabendo que sen (x) + cos (x) = 7/5, com 0 < x < π/2 e sen (x) < cos (x), então o valor da tg (2π - x), vale:

a) - 3/4
b) - 4/3
c) - 1/4
d) - 5√3/3
e) 5√3/3​

Answer 1

sen x + cos x = 7/5

cateto oposto/ hipotenusa + cateto adjacente/ hipotenusa = 7/5

(cateto oposto + cateto adjacente)/ hipotenusa = 7/5

Triângulo retângulo clássico: 3,4,5 ✓

porém sen x < cos x

cateto oposto < cateto adjacente

sen x = 3/5

cos x = 4/5

... arco duplo tangente ...

tan (2π - x) = (tan 2π - tan x) / ( 1 + tan 2π . tan x)

tan (2π - x) = (0 - tan x) / (1 + 0)

tan (2π -x) = - tan x

- tan x = - sen x/ cos x

- tan x = - (3/5)/(4/5)

- tan x = -3/4

a)

Answer 2

Resposta: tg(2pi - x) = - tg(x) = - 3/4 — Letra a)

Explicação passo-a-passo:

Postarei uma outra solução para tal exercício. Sabe-se que sen(x) + cos(x) = 7/5, sen(x) < cos(x) e também que 0 < x < pi/2 (x é ângulo agudo). Com isso temos:

sen(x) + cos(x) = 7/5 =>

sen²(x) + 2sen(x)cos(x) + cos²(x) = 7²/5² =>

[sen²(x) + cos²(x)] * + sen(2x) = 49/25 =>

1 + sen(2x) = 49/25 =>

sen(2x) = 49/25 - 25/25 =>

sen(2x) = 24/25 e 0 < x < pi/2 =>

sen(2x) = 2tg(x)/[1 + tg²(x)] = 24/25 =>

tg(x)/[1 + tg²(x)] = 12/25 =>

12[1 + tg²(x)] = 25tg(x) =>

tg²(x) + 1 = 25tg(x)/12 =>

tg²(x) - 25/12tg(x) + 1 = 0 =>

tg²(x) - 2(25/24)tg(x) + (25/24)² - (25/24)² + 1 = 0 =>

[tg(x) - 25/24]² = 25²/24² - 24²/24² =>

[tg(x) - 25/24]² = (25 + 24)(25 - 24)/24²

[tg(x) - 25/24]² = 7²/24²

|tg(x) - 25/24| = 7/24 (i)

De (i) temos duas possibilidades:

— Primeira Possibilidade

tg(x) = 7/24 + 25/24 = 32/24 =>

tg(x) = 4/3 = 1 + 1/3 > 1 =>

tg(x) = 1 + 1/3 não pode ser solução, pois sen(x) < cos(x) e 0 < x < pi/2 => sen(x)/cos(x) < 1 => tg(x) < 1

— Segunda Possibilidade

tg(x) = - 7/24 + 25/24 = 18/24 = 3/4 (Solução Válida! Temos tg(x) = 3/4 = 0, 75 < 1)

Continuando...

tg(2pi - x) = sen(2pi - x)/cos(2pi - x) = - sen(x)/cos(x) = - tg(x) =>

tg(2pi - x) = - 3/4

* sen²(x) + cos²(x) = 1, para todo x real. Tal relação é conhecida como Relação Trigonométrica Fundamental.

Abraços!