Question

Sabendo que sen x + cos x = 2/3, calcule sen 2x.​

Answer 1

Resposta:

2.sen(x) =  -$\frac{5}{9}$

Explicação passo-a-passo:

sen(x)+cos(x) = $\frac{2}{3}$

(sen(x)+cos(x))²=($\frac{2}{3}$)²

sen²(x)+cos²(x)+2.sen(x).cos(x) =  $\frac{4}{9}$

Sabemos que: sen²(x)+cos²(x)=1

Logo:

1+ 2.sen(x).cos(x) =  $\frac{4}{9}$

2.sen(x).cos(x) =  $\frac{4}{9}$ -1

Sabendo que 2.sen(x).cos(x) = 2.sen(x)

Temos que:

2.sen(x).cos(x) =  -$\frac{5}{9}$ =  2.sen(x)

Answer 2

O valor do Sen 2x é $- \frac{5}{9}$.

Relação Trigonométrica Fundamental

Das relações trigonométricas utilizadas, há uma relação envolvendo o seno e o cosseno, de modo que:

$sen^2 \; x + cos^2\;x=1$

No caso desta questão, sabemos que $sen \; x + cos \; x = \frac{2}{3}$. Elevando ao quadrado, ambos os termos desta igualdade, e logo após desenvolvendo-a com o produto notável quadrado da soma, chegamos ao seguinte resultado:

$(sen \; x+cos\; x)^2 = \left(\frac{2}{3} \right)^2\\\\sen^2 \; x + 2 \cdot sen \; x \cdot cos \; x + cos^2 \; x = \frac{4}{9} \\\\sen^2 \; x + cos^2 \; x + 2 \cdot sen \; x \cdot cos \; x = \frac{4}{9} \\\\1 + 2 \cdot sen \; x \cdot cos \; x = \frac{4}{9} \\\\ 2 \cdot sen \; x \cdot cos \; x = \frac{4}{9} -1\\\\ 2 \cdot sen \; x \cdot cos \; x =- \frac{5}{9}$

Lembre-se da propriedade que diz que o dobro do produto do seno pelo cosseno de um ângulo é igual ao seno do dobro do ângulo. $2 \cdot sen\; x \cdot cos\; x = sen \; 2x$. Aplicando ela na igualdade obtida acima, teremos:

$2 \cdot sen \; x \cdot cos \; x =- \frac{5}{9}\\\\sen \; 2x = - \frac{5}{9}$

Portanto, o valor do sen 2x é $-\frac{5}{9}$

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