Question

sabendo que sen x = 9/25, que tan y = 12/5 e que x e y são angulos do segundo e do terceiro quadrantes, respectivamente, calcule sen (x + y) e cos (x + y)

Answer 1

Para calcular sen(x + y) e cos(x + y) precisamos calcular, primeiramente, os valores de cos(x), cos(y) e sen(y).

Como $sen(x)=\frac{9}{25}$, então pela relação fundamental da trigonometria sen²(x) + cos²(x) = 1, temos que:

$(\frac{9}{25})^2 + cos^2(x)=1$

$\frac{81}{625}+cos^2(x)=1$

$cos^2(x)=1-\frac{81}{625}$

$cos^2(x)=\frac{544}{625}$

$cos(x)=-\frac{4\sqrt{34}}{25}$, pois x pertence ao segundo quadrante.

Agora, precisamos calcular cos(y) e sen(y).

Sabendo que $tg^2(y)+1=\frac{1}{cos^2(y)}$ e que $tg(y)=\frac{12}{5}$, temos que:

$(\frac{12}{5})^2+1=\frac{1}{cos^2(y)}$

$\frac{144}{25}+1=\frac{1}{cos^2(y)}$

$\frac{169}{25}=\frac{1}{cos^2(y)}$

$cos^2(y)=\frac{25}{169}$

$cos(y)=-\frac{5}{13}$, pois y pertence ao terceiro quadrante.

Logo,

$sen^2(y)+(\frac{5}{13})^2=1$

$sen^2(y)+\frac{25}{169}=1$

$sen^2(y)=1-\frac{25}{169}$

$sen^2(y)=\frac{144}{169}$

$sen(y)=-\frac{12}{13}$, pois y pertence ao terceiro quadrante.

Portanto,

sen(x + y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x)

$sen(x+y)=\frac{9}{25}(-\frac{5}{13}) + \frac{12}{13}\frac{4\sqrt{34}}{25}$

$sen(x+y)=\frac{-45+48\sqrt{34}}{325}$

e

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)

$cos(x+y)=\frac{4\sqrt{34}}{25}\frac{5}{13} + \frac{9}{25}\frac{12}{13}$

$cos(x+y)=\frac{20\sqrt{34}+108}{325}$