Question

Sabendo que sen x = 3/5, cos y = 4/5, x é um ângulo do 2º quadrante e y é um ângulo do 4º quadrante, calcule cos (x – y).

Answer 1

O valor de cos(x - y) é -1.

Primeiramente, vamos relembrar a definição do cosseno da diferença:

• cos(x - y) = cos(x).cos(y) + sen(x).sen(y).

De acordo com o enunciado, temos os valores de sen(x) e cos(y). Precisamos calcular os valores de cos(x) e sen(y).

Para isso, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria: sen²(α) + cos²(α) = 1.

Dito isso, temos que:

sen²(x) + cos²(x) = 1

(3/5)² + cos²(x) = 1

9/25 + cos²(x) = 1

cos²(x) = 1 - 9/25

cos²(x) = 16/25

cos(x) = ±4/5.

Como x é um ângulo do 2º quadrante, então cos(x) = -4/5.

Da mesma forma, temos que:

sen²(y) + cos²(y) = 1

sen²(y) + (4/5)² = 1

sen²(y) + 16/25 = 1

sen²(y) = 1 - 16/25

sen²(y) = 9/25

sen(y) = ±3/5.

Como y é um ângulo do 4º quadrante, então sen(y) = -3/5.

Assim, podemos concluir que:

cos(x - y) = (-4/5).(4/5) + (3/5).(-3/5)

cos(x - y) = -16/25 - 9/25

cos(x - y) = -25/25

cos(x - y) = -1.