Question

Sabendo que sen x=2/5 e que x 1° quadrante, calcule:
a)Cos x
b) Tg x
c)Cotg x
d)Sec x
e) Cossec x

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Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Usando a relação fundamental da trigonometria dada por:

$\boxed{ \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1 }$

Podemos achar os valores do cosseno, tangente....

Primeiro vamos achar o cosseno, ou seja, vamos substituir o valor do seno só que ao quadrado.

$\sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ ( \frac{2}{5} ) {}^{2} + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \frac{4}{25} + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \cos {}^{2} (x) = 1 - \frac{4}{25} \\ \cos {}^{2} (x) = \frac{25 - 4}{25} \\ \cos {}^{2} (x) = \frac{21}{25} \\ \cos (x) = \pm \sqrt{ \frac{21}{25} } \\ \cos (x) = \pm \frac{ \sqrt{21} }{5}$

A questão informa que o "x" está no primeiro quadrante, então ficaremos apenas com o valor positivo, pois o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\boxed{ \cos(x) = \frac{ \sqrt{21} }{5} }$

Substituindo na fórmula da tangente:

$\tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } \\ \\ \tan(x) = \frac{ \frac{2}{ \cancel5} }{ \frac{ \sqrt{21} }{ \cancel5} } \\ \\ \tan(x) = \frac{2}{ \sqrt{21} } . \frac{ \sqrt{21} }{ \sqrt{21} } \\ \\ \tan(x) = \frac{2 \sqrt{21} }{ \sqrt{441} } \\ \\ \boxed{ \tan(x) = \frac{2 \sqrt{21} }{21}}$

Sabemos que a cotangente é o inverso da tangente, ou seja, 1/tg.

$\cot(x) = \frac{1}{ \tan(x) } \\ \\ \cot(x) = \frac{1}{ \frac{2 \sqrt{21} }{21} } \\ \\ \cot(x) = \frac{1}{1} . \frac{21}{2 \sqrt{21} } \\ \\ \cot(x) = \frac{21}{2 \sqrt{21} } . \frac{ \sqrt{21} }{ \sqrt{21} } \\ \\ \cot(x) = \frac{21 \sqrt{21} }{2. \sqrt{441} } \\ \\ \cot(x) = \frac{ \cancel21 \sqrt{21} }{2. \cancel21} \\ \\ \boxed{\cot(x) = \frac{ \sqrt{21} }{2} }$

Do mesmo jeito que a cotangente é o inverso da tangente, a secante é o inverso do cosseno.

$\sec(x) = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \\ \sec(x) = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{21} }{5} } \\ \\ \sec(x) = \frac{1}{1} . \frac{5}{ \sqrt{21} } \\ \\ \sec(x) = \frac{5}{ \sqrt{21} } \\ \\ \sec(x) = \frac{5}{ \sqrt{21} } . \frac{ \sqrt{21} }{ \sqrt{21} } \\ \\ \sec(x) = \frac{5 \sqrt{21} }{ \sqrt{441} } \\ \\ \boxed{ \sec(x) = \frac{5 \sqrt{21} }{21} }$

Por fim temos a cossecante inversa do seno.

$\csc(x) = \frac{1}{ \sin(x) } \\ \\ \csc(x) = \frac{1}{ \frac{2}{5} } \\ \\ \csc(x) = \frac{1}{1} . \frac{5}{2} \\ \\ \boxed{\csc(x) = \frac{5}{2} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️