Question

sabendo que sen(x) = 2/5 e π/2 < x < π, encontre os valores de:

a) cos (2x)

b) sen (2x)​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Seno=Oposto/Hipotenusa

Cosseno=Adjacente/Hipotenusa

Vamos achar o outro cateto. E temos que saber algumas identidades trigonométricas.

$sen(x) = \frac{2}{5} \\\\sen(2x) = 2.senx.cosx\\\\cos(2x) = cos^2x - sen^2x$

Cateto oposto = 2

hipotenusa = 5

$5^2 = 2^2 + (adjacente)^2\\\\25 - 4 = (adjacente)^2\\\\adjacente = \sqrt{21}$

$cosx = \frac{\sqrt{21} }{5}$

Agr basta substituir nas formulas :

a)

$cos(2x) = (\frac{\sqrt{21} }{5})^2 - (\frac{2}{5})^2\\ \\cos(2x) = \frac{21}{25} - \frac{4}{25}\\ \\cos(2x) = \frac{17}{25}$

b)

$sen(2x) = 2.\frac{2}{5}. \frac{\sqrt{21} }{5} \\\\sen(2x) = \frac{4\sqrt{21} }{25}$

Answer 2

E vamos de matemática:

Temos a informação de que o seno de "x" é igual a dois quintos, sabemos ainda que esse "x" está um intervalo de 90° (π/2) à 180° (π), ou seja, se formos observar isso no círculo trigonométrico, corresponde ao segundo quadrante.

→ Tendo feito essa "interpretação" vamos para o cálculo de fato. Para encontrarmos o item a), é necessário que saibamos o cos(x), então usaremos a relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1$

Substituindo o valor do seno:

$\sf \frac{2 {}^{2} }{5 {}^{2} } + cos {}^{2} x = 1 \\ \\ \sf \frac{4}{25} + cos {}^{2} x = 1 \\ \\ \sf cos {}^{2} x = 1 - \frac{4}{25} \\ \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{25 - 4}{25} \\ \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{21}{25} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf cosx = \pm \sqrt{ \frac{21}{25} } \\ \\ \sf cosx = \pm \frac{ \sqrt{21} }{5} \: \:$

Para o valor do cosseno temos esse acima, mas como havia dito no começo, esse "x" está no segundo quadrante onde o cosseno é negativo, então devemos desprezar o valor positivo.

$\boxed{ \sf cosx = - \frac{ \sqrt{21} }{5} }$

Agora vamos lembrar que sen(2x) não é senx.senx, nem senx + senx, mas na realidade sen(2x) = 2senx.cosx (fórmula do arco duplo para o seno). Substituindo os dados:

$\sf sen(2x) = 2.senx.cosx \\ \\ \sf sen(2x) = 2. \frac{2}{5} . - \frac{ \sqrt{21} }{5} \\ \\ \sf sen(2x) = \frac{4}{5} . - \frac{ \sqrt{21} }{5} \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf sen(2x) = - \frac{4 \sqrt{21} }{25}} \: \: \: \: \: \: \: \:$

Valha meu deus, troquei os itens, mas não faz muita diferença.

No item b) cos(2x) devemos substituir os valores na fórmula correspondente ao mesmo que na realidade eu nem lembro, por esse motivo irei deduzir:

$\sf cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb \\ \sf cos(x + x) = cosx.cosx - senx.senx \\ \sf cos(x + x) = cos {}^{2} x - sen {}^{2} x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo na fórmula:

$\sf cos(2x) = cos {}^{2} x - sen {}^{2} x \\ \\ \sf cos(2x) = ( - \frac{ \sqrt{21} }{5} ) - ( \frac{2}{5} ) {}^{2} \\ \\ \sf cos(2x) = \frac{21}{25} - \frac{4}{25} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf cos(2x) = \frac{17}{25}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado