Question

Sabendo que sen x= 1/3 e sen y= √ 3/2, onde x,y E ]0; π[, determine o valor de cos (x+y).

Answer 1

Resposta:

$cos(x+y)=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}~~ou~~cos(x+y)=-\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para resolvermos esse exercício, precisamos conhecer a relação fundamental da trigonometria (1) e a fórmula do cosseno da soma (2).

1. $sen^2~x+cos^2~x=1$

2. $cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cdot{cos\beta}-sen\alpha\cdot{sen\beta}$

Temos que conhecer os valores dos cossenos de x e y, para podermos descobrir quanto vale cos (x+y). Então, vamos usar a relação fundamental da trigonometria.

Para x...

Já que x pertence ao intervalo ]0; $\pi$[, ele pode ser um ângulo do primeiro ou do segundo quadrante. Logo, cos x pode ser positivo (caso ele seja do primeiro quadrante) ou negativo (caso ele seja do segundo).

$(\frac{1}{3})^2+cos^2~x=1\\\\\frac{1}{9}+cos^2~x=1\\\\cos^2~x=1-\frac{1}{9}\\\\cos^2~x=\frac{8}{9}\\\\cos~x=\sqrt{\frac{8}{9}}\\\\cos~x=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Para y...

Da mesma forma que o x, y pertence ao intervalo ]0; $\pi$[. Então, cos y pode ser positivo ou negativo.

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+cos^2~y=1\\\\\frac{3}{4}+cos^2~y=1\\\\cos^2~y=1-\frac{3}{4}\\\\cos^2~y=\frac{1}{4}\\\\cos~y=\sqrt{\frac{1}{4}}\\\\cos~y=\pm\frac{1}{2}$

Vamos substituir as informações que nós temos na fórmula de cosseno da soma. Mas antes, temos que lembrar que não sabemos o sinal dos cossenos. Então, na hora que formos multiplicá-los, podem acontecer os seguintes eventos:

Se cos x > 0 e cos y > 0:

+ com + é +;

Se cos x > 0 e cos y < 0:

+ com - é -;

Se cos x < 0 e cos y > 0:

- com + é -;

Se cos x < 0 e cos y < 0:

- com - é +.

Portanto, $cos~x\cdot{cos~y$ também tem um sinal indefinido.

Fazendo os cálculos temos:

$cos(x+y)=cos~x\cdot{cos~y}-sen~x\cdot{sen~y}\\\\cos(x+y)=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\pm\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\cos(x+y)=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}\\\\\boxed{cos(x+y)=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}~~ou~~cos(x+y)=-\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}}$

Saiba mais em:

1. Relação fundamental da trigonometria: https://brainly.com.br/tarefa/8091095

2. Seno da soma e cosseno da soma: https://brainly.com.br/tarefa/11735529

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️