Question

sabendo que sen 10°=0,17; sen 65°=0,90 e cos 50°=0,64

Calcule

a) cos 25°
b) cos 80°
c) sen 40°

Answer 1

a) cos 25° = 0,91
b) cos 80° = 0,17
c) sen 40° = -0,64

Answer 2

Com o estudo da adição de arcos temos como resposta a)0.90553851381, b)-0.06418745424 e c)0.63134540804

Seno da soma e da diferença

O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento, e vice-versa. Podemos afirmar que $sen\left(x\right)=cos\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$. Aplicando esse resultado no cosseno da diferença, teremos

• $sen\left(a+b\right)=cos\left[\frac{\pi }{2}-\left(a+b\right)\right]$

• $sen\left(a+b\right)=cos\left[\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right]$

• $sen\left(a+b\right)=cos\left(\frac{\pi }{2}-a\right)cos\left(b\right)+sen\left(\frac{\pi }{2}-a\right)sen\left(b\right)$

Como $sen\left(a\right)=cos\left(\frac{\pi }{2}-a\right)$ e vice-versa, concluímos que

$sen\left(a+b\right)=sen\left(a\right)\cdot cos\left(b\right)+sen\left(b\right)\cdot cos\left(a\right)$

Ao considerarmos o arco (-b) na fórmula anterior, encontramos

$sen\left[a+\left(-b\right)\right]=sen\left(a\right)\cdot cos\left(-b\right)+sen\left(-b\right)\cdot cos\left(a\right)$

Temos  que cos(-b) = cos(b) e sen(-b) = -sen(b). Substituindo essas informações nas conclusões na relação acima, teremos:

$sen\left(a-b\right)=sen\left(a\right)\cdot cos\left(-b\right)-sen\left(b\right)\cdot cos\left(a\right)$

Observação

• $cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)\cdot cos\left(b\right)-sen\left(a\right)\cdot sen\left(b\right)$

• $cos\left(a-b\right)=cos\left(a\right)\cdot cos\left(b\right)+sen\left(a\right)\cdot sen\left(b\right)$

a)50 = 25 + 25

• cos(25° + 25°) = 0, 64
• cos(25°)*cos(25°) - sen(25°)*sen(25°) = 0, 64
• cos²(25°) - sen²(25°) = 0, 64

Temos que sen²(25°) + cos²(25°) = 1⇒sen²(25°) = 1 - cos²(25°)

• cos²(25°) -1+cos²(25°) = 0, 64
• 2*cos²(25°) = 1, 64
• cos²(25°) = 0,82

cos(25°) = 0.90553851381

b)80° = 50° + 30°

cos(80°) = cos(50° + 30°) = cos(50°)*cos(30°) - sen(50°)*sen(30°)

Observação

1. sen²(25°) = 1 - cos²(25°)
2. sen²(25°) = 1 - 0,82
3. sen²(25°) = 0, 18
4. sen(25°) = 0.42426406871
5. sen²(50°) = 1 - cos²(50°)
6. sen²(50°) = 1 - 0.4096
7. sen²(50°) = 0.5904
8. sen(50°) = 0.76837490849

Voltando a questão

cos(80°) = cos(50° + 30°) = cos(50°)*cos(30°) - sen(50°)*sen(30°) = 0, 64*0, 5 - 0, 76837490849*0, 5 = 0,32 - 0,38418745424 = -0.06418745424

c)sen(40°) = sen(20° + 20°)

sen(20°) = sen(10° + 10°) = sen(10°)cos(10°) + sen(10°)cos(10°) = 0,17*0,9854 + 0,17*0,9854 = 0.335036

sen(20° + 20°) = sen(20°)*cos(20°) + sen(20°)*cos(20°)  = 0,335036*0,94220532725 + 0,335036*0,94220532725 = 0.31567270402 + 0.31567270402 = 0.63134540804

Saiba mais sobre adição de arcos:https://brainly.com.br/tarefa/78033

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