Question

sabendo que P(x)=ax³-5bx ; Q(x)= (b-2a)x-4 , cumprem as seguintes relações 2P(1)+Q(4)=0 ; P(0)-Q(1)=0 , os valores de a, b er sao?
qual das seguintes respostas:

a) a= -14/9 ; b=8/9
b) a=14/9 ; b= -8/9
c) a=14 ; b= -8
d) a= -14 ; b=8

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

A questão nos fornece os polinômios P(x) dado por:

$\red{\boxed{P(x) = ax {}^{3} - 5bx}}$

E o polinômio Q(x) dado por:

$\red{ \boxed{Q(x) = (b - 2a)x - 4}}$

O enunciado já nos informa muita coisa, aquelas expressões 2P(1) + Q(4) = 0, indicam os valores que devemos substituir no local de "x". Sabendo disso, vamos fazer de um por um:

• Para 2P(1) + Q(4) = 0:

$P (x) = ax {}^{3} - 5bx \\ P(1) = a.(1) {}^{3} - 5.b.1 \\ P(1) = a - 5b \\ \\ Q(x) = (b - 2a)x - 4 \\ Q(4) = (b - 2a).4- 4 \\ Q(4) = 4b - 8a - 4 \\ Q(4) = 4b - 8a - 4 \\ \\ 2P(1) + Q(4) = 0 \\ 2.(a - 5b) + 4b - 8a - 4 = 0 \\ 2a - 10b + 4b - 8a - 4 = 0 \\ (- 6a - 6b = 4) \div (2) \\ \boxed{ - 3a - 3b = 2}$

• Para P(0) - Q(1) = 0:

$P(x) = ax {}^{3} - 5bx \\ P(0) = 0.x {}^{3} - 5.b.0 \\ P(0) = 0 - 0 \\ P(0) = 0 \\ \\ Q(x) = (b - 2a)x - 4 \\ Q(1) = (b - 2a).1 - 4 \\ Q(1) = b - 2a - 4 \\ \\ P(0) - Q(1) = 0 \\ 0 - (b - 2a - 4) = 0 \\ 0 - b + 2a + 4 = 0 \\ \boxed{2a - b = - 4}$

Note que surgiu duas equações de duas incógnitas, ou seja, vamos calcular o valor de tais incógnitas através de um sistema de equações.

Método da adição:

$- 3a - 3b = 2\\ 2a - b = - 4.( - 3) \\ \\ - 3a - 3b = 2 \\ - 6a + 3b = 12 \\ \\ - 3a \cancel{- 3b }- 6a + \cancel{3b} = 12 + 2 \\ - 9a = 14 \\ \boxed{a = - \frac{14}{9}}$

Sabendo o valor de "a", basta substituir em uma das duas equações para achar o valor de "b":

$2a - b = - 4 \\ 2.( - \frac{14}{9} ) - b = 4 \\ - \frac{ 28}{9} - b= - 4 \\ - b = - 4 + \frac{28}{9} \\ - b = \frac{9.( - 4) + 28}{9} \\ - b = \frac{ - 36 + 28}{9} \\ - b = - \frac{8}{9} .( - 1) \\ \boxed{b = \frac{8}{9} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Letra a)