Question

Sabendo que P = (2; 1) é um ponto da circunferência de equação (x+ 3)² + (y −k)² = 25, determine o seu centro.

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Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria analítica e equações de circunferência.

Dada uma circunferência de equação reduzida $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, o centro tem coordenadas $C~(x_C,~y_C)$ e o raio da circunferência é igual a $R$.

Então, seja a circunferência de equação $(x+3)^2+(y-k)^2=25$. Sabemos que o ponto $P~(2,~1)$ pertence à circunferência e devemos determinar as coordenadas de seu centro.

Substituindo as coordenadas do ponto $P$ na equação, temos:

$(2+3)^2+(1-k)^2=25$

Some os valores e calcule a potência

$5^2+(1-k)^2=25\\\\\\ 25+(1-k)^2=25$

Subtraia $25$ em ambos os lados da equação

$(1-k)^2=0$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$1-k=0$

Some $k$ em ambos os lados da equação

$k=1$

Observe que, na equação original, $k=y_C$. Assim, facilmente encontramos as coordenadas do centro desta circunferência.

As coordenadas do centro dessa circunferência são $C~(-3,~1)~~\checkmark$.