Question

Sabendo que p = 0,555... e q = 0,111..., assinale a alternativa correta: 



a)2p - q é um número inteiro 



b)p - q é um número inteiro 



c)p + q é um número irracional 



d)ep - 2q é um número inteiro 



e)5p + q é um número natural​

Answer 1

Como podemos ver, "p" e "q" são dizimas periódicas, logo, para podermos responder o que é pedido, precisaremos primeiro achar as suas frações geratrizes.

$\underline{Geratriz~de~p}:\\\\\\p~=~0,555...~~~~\rightarrow~~Multiplicando~p~por~10\\\\10\cdot p~=~10\cdot 0,555...\\\\10p~=~5,555...\\\\\\Perceba~que,~se~subtrairmos~p~de~10p,~vamos~''eliminar''~a~dizima\\\\\\10p~-~p~=~5,555...~-~0,555...\\\\9p~=~5\\\\\boxed{p~=~\dfrac{5}{9}}$

$\underline{Geratriz~de~q}:\\\\\\q~=~0,111...~~~~\rightarrow~~Multiplicando~q~por~10\\\\10\cdot q~=~10\cdot 0,111...\\\\10q~=~1,111...\\\\\\Perceba~que,~se~subtrairmos~q~de~10q,~vamos~''eliminar''~a~dizima\\\\\\10q~-~q~=~1,111...~-~0,111...\\\\9q~=~1\\\\\boxed{q~=~\dfrac{1}{9}}$

Podemos agora verificar as assertivas.

a) Correto, o resultado é 1, que pertence aos Inteiros (Z).

$2\cdot\dfrac{5}{9}~-~\dfrac{1}{9}~~=~~\dfrac{10}{9}~-~\dfrac{1}{9}~~=~~\dfrac{9}{9}~~=~~\boxed{1}$

b) Errado, (p-q) vale 4/9 e pertence aos Racionais (Q).

$\dfrac{5}{9}~-~\dfrac{1}{9}~~=~~\boxed{\dfrac{4}{9}}$

c) Errado, (p+q) vale 2/3 e pertence aos Racionais (Q).

$\dfrac{5}{9}~+~\dfrac{1}{9}~~=~~\dfrac{6}{9}~~=~~\boxed{\dfrac{2}{3}}$

d) Errado, (p-2q) vale 1/3 e pertence aos Racionais (Q).

$\dfrac{5}{9}~-~2\cdot\dfrac{1}{9}~~=~~\dfrac{5}{9}~-~\dfrac{2}{9}~~=~~\dfrac{3}{9}~~=~~\boxed{\dfrac{1}{3}}$

e) Errado, (5p+q) vale 26/9 e pertence aos Racionais (Q).

$5\cdot\dfrac{5}{9}~+~\dfrac{1}{9}~~=~~\dfrac{25}{9}~+~\dfrac{1}{9}~~=~~\boxed{\dfrac{26}{9}}$

Resposta: Letra (a)