Question

Sabendo que os pontos A, B e C estão alinhados, determine o valor de m em função de n, em 
      cada caso:


a) A(m,n), B(2,3) e C(-1,5)          
b) A(1,4), B(m,n) e C(5,3)  
c) A(-3,-2), B(2,1) e C(m,n)
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Answer 1

O valor de m em função de n: a) m = (13 - 3n)/2; b) m = 17 - 4n; c) m = (5n + 1)/3.

Da Geometria, sabemos que por dois pontos passa somente uma única reta.

A equação da reta é da forma y = ax + b. Vamos determinar a equação da reta que passa pelos pontos de cada item.

a) Substituindo os pontos B = (2,3) e C = (-1,5) na equação y = ax + b, obtemos o sistema:

{2a + b = 3

{-a + b = 5.

Da segunda equação, temos que b = a + 5. Substituindo o valor de b na primeira equação:

2a + a + 5 = 3

3a = -2

a = -2/3.

Consequentemente:

b = -2/3 + 5

b = 13/3.

Portanto, a equação da reta é y = -2x/3 + 13/3.

Substituindo o ponto A = (m,n) na equação da reta, obtemos:

n = -2m/3 + 13/3

3n = -2m + 13

2m = 13 - 3n

m = (13 - 3n)/2.

b) Substituindo os pontos A = (1,4) e C = (5,3) na equação y = ax + b, obtemos o sistema:

{a + b = 4

{5a + b = 3.

Da primeira equação, temos que b = 4 - a.

Substituindo o valor de b na segunda equação:

5a + 4 - a = 3

4a = -1

a = -1/4.

Consequentemente:

b = 4 + 1/4

b = 17/4.

Logo, a equação da reta é y = -x/4 + 17/4.

Substituindo o ponto B = (m,n) na equação da reta, obtemos:

n = -m/4 + 17/4

4n = -m + 17

m = 17 - 4n.

c) Substituindo os pontos A = (-3,-2) e B = (2,1) na equação y = ax + b, obtemos o sistema:

{-3a + b = -2

{2a + b = 1.

Da primeira equação, temos que b = 3a - 2.

Substituindo o valor de b na segunda equação:

2a + 3a - 2 = 1

5a = 3

a = 3/5.

Consequentemente:

b = 9/5 - 2

b = -1/5.

Portanto, a equação da reta é y = 3x/5 - 1/5.

Substituindo o ponto C = (m,n) na equação da reta:

n = 3m/5 - 1/5

5n = 3m - 1

3m = 5n + 1

m = (5n + 1)/3.