Question

sabendo que os pontos A(-4, 3), B(2, -1), e C(p, 2) formam um triângulo cuja área é 11μ.a . determine o valor de p.​

Answer 1

Dados tres pontos, vértices de um triangulo, podemos determinar a área do triangulo pela equação:

$Area~=~\frac{1}{2}~.~\left\|\begin{array}{ccc}x_{_A}&y_{_A}&1\\x_{_B}&y_{_B}&1\\x_{_C}&y_{_C}&1\end{array}\right\|$

Substituindo os valores dados, temos:

$11~=~\frac{1}{2}~.~\left\|\begin{array}{ccc}-4&3&1\\2&-1&1\\p&2&1\end{array}\right\|\\\\\\11~=~\frac{1}{2}\,.\left|~(-4.(-1).1+2.2.1+p.3.1)-(1.(-1).p+1.2.(-4)+1.3.2)~\right|\\\\\\11~=~\frac{1}{2}\,.\left|~(4+4+3p)-(-p-8+6)~\right|\\\\\\11~.~2~=~\left|~8+3p+p+2~\right|\\\\\\22~=~\left|~4p+10~\right|$

$\left|~4p+10~\right|~=~22\\\\\\\left\{\begin{array}{ccccc}4p+10&=&22&\rightarrow&\boxed{p~=~3}\\&&\\-(4p+10)&=&22&\rightarrow&\boxed{p~=\,-8}\end{array}\right$

Temos então dois valores para "p" que formam um triangulo de área 12 u.a:

--> p = 3

--> p = -8