Matemática, perguntado por anabrito199, 5 meses atrás

Sabendo que os pares ordenados (3x + y;29) e (3;x+5y) são iguais, calcule x² + y²:
A) 37
B) 25
C)20
D)19
E)15

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀O valor da expressão requerida se configura na alternativa a) 37.

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Considerações e resolução

⠀⠀Dois pares ordenados, por exemplo $\small\text{$(x_m~,~y_m)$}$ e $\small\text{$(x_n~,~y_n)$}$ , serão iguais se, e só se, tiverem suas abscissas iguais e suas ordenadas iguais. Assim, os pares que apresentei serão iguais se, $x_m=x_n$ e $y_m=y_n$ .

⠀⠀Dessa forma, se os pares ordenados $\small\text{$(3x+y~,~29)$}$ e $\small\text{$(3~,~x+5y)$}$ são iguais, teremos $3x+y=3$ e $29=x+5y$ . Perceba que com duas equações de duas incógnitas podemos montar um sistema de equações para resolver:

$\Large\begin{array}{l}\begin{cases}3x+y=3~~_{(\,I\,)}\\x+5y=29~~_{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}$

⠀⠀Para esse sistema vamos usar o método da substituição. Este método consiste em isolar alguma incógnita numa das equações e substituir seu valor provisório na outra equação, a fim de obter o valor de uma das variáveis. Sendo assim, na eq. $\small\text{$(\,I\,)$}$ vamos isolar $y$ , obtendo $3x+y=3~~\to~~y=3-3x$ . E agora, substituindo esse valor na eq. $\small\text{$(\,II\,)$}$ , obtemos:

$\large\begin{array}{c}x+5y=29\\\\x+5(3-3x)=29\\\\x+15-15x=29\\\\x-15x=29-15\\\\14x=-\,14\\\\x=-\,\dfrac{14}{14}\\\\\!\boxed{x=-\,1}\end{array}$

⠀⠀Dessa forma, substituindo o valor de $x$ na equação em que isolamos $y$ , encontraremos:

$\large\begin{array}{c}y=3-3x\\\\y=3-3(-\,1)\\\\y=3+3\\\\\!\boxed{y=6}\end{array}$

⠀⠀Veja que o objetivo desta questão vai além de só encontrarmos os valores das variáveis, pois desejamos calcular $x^2+y^2$ . Então, se $x=-\,1$ e $y=6$ teremos que o valor de tal expressão é:

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$\large\begin{array}{c}x^2+y^2=(-\,1)^2+(6)^2\\\\x^2+y^2=1+36\\\\\!\boxed{x^2+y^2=37}\end{array}$

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⠀⠀Portanto, a alternativa a) 37 responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$